Упр.880 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) корень 5sin2x -2= sinx — cosx.

1. $$\sin x+\cos x=\sqrt{1+\tg x}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+\tg x$$

   $$1+2\sin x\cos x=1+\frac{\sin x}{\cos x}$$

   $$2\sin x\cos^2 x=\sin x$$

   $$\sin x\,(2\cos^2 x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos^2 x-1=0$$

   1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

   2) $$2\cos^2 x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

   Проверим область определения:

   $$1+\tg x\ge 0,\qquad \cos x\ne 0$$

   Для найденных значений это условие выполняется.

2. $$\sqrt{5\sin 2x-2}=\sin x-\cos x$$

   Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательной. Возведём обе части в квадрат:

   $$5\sin 2x-2=(\sin x-\cos x)^2$$

   $$5\sin 2x-2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x$$

   $$5\sin 2x-2=1-\sin 2x$$

   $$6\sin 2x=3$$

   $$\sin 2x=\frac12$$

   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$

   С учётом условия $$\sin x-\cos x\ge 0$$ получаем:

   $$x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{13\pi}{12}+2\pi n$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{5\pi}{12}+2\pi n,\ \frac{13\pi}{12}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$