Упр.88 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все принадлежащие промежутку $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ решения неравенства:

1. $$\operatorname{tg} 2x \leq 1$$;

   $$\operatorname{tg} 3x < -\sqrt{3}$$;

   $$\operatorname{ctg}\frac{x}{2} < \frac{\sqrt{3}}{3}$$;

   $$\operatorname{ctg}\frac{x}{3} \geq 1$$.

1. $$\tg 2x \le 1$$

   Так как $$\tg t \le 1$$ при

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<t\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   то при $$t=2x$$ получаем

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x\le \frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   Делим на $$2$$:

   $$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x\le \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{3\pi}{8}\right]\cup\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{8}\right]\cup\left(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right).$$

2. $$\tg 3x<-\sqrt{3}$$

   Так как $$\tg t<-\sqrt{3}$$ при

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<t<-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   то при $$t=3x$$ имеем

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<3x<-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

   Делим на $$3$$:

   $$-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}<x<-\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}.$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{4\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{6};-\frac{\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{9}\right).$$

3. $$\ctg \frac{x}{2}<\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Так как $$\ctg t<\frac{\sqrt{3}}{3}$$ при

   $$\frac{\pi}{3}+\pi n<t<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   то при $$t=\frac{x}{2}$$ имеем

   $$\frac{\pi}{3}+\pi n<\frac{x}{2}<\pi+\pi n.$$

   Умножаем на $$2$$:

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<2\pi+2\pi n.$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

   $$x\in\left(-\frac{\pi}{2};0\right).$$

4. $$\ctg \frac{x}{3}\ge 1$$

   Так как $$\ctg t\ge 1$$ при

   $$\pi n<t\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   то при $$t=\frac{x}{3}$$ имеем

   $$\pi n<\frac{x}{3}\le \frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   Умножаем на $$3$$:

   $$3\pi n<x\le \frac{3\pi}{4}+3\pi n.$$

   На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем

   $$x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$

Ответ

1) $$\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{3\pi}{8}\right]\cup\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{8}\right]\cup\left(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right)$$;

2) $$\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{4\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{6};-\frac{\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{9}\right)$$;

3) $$\left(-\frac{\pi}{2};0\right)$$;

4) $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$