Упр.88 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) tg2x < =1; 2) tg3x < - корень 3; 3) ctgx/2 < корень 3/3; 4) ctgx/3 > =1.

Подробный ответ

$$\tg 2x \le 1$$
Так как $$\tg t \le 1$$ при
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<t\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
то при $$t=2x$$ получаем
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x\le \frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Делим на $$2$$:
$$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x\le \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$
На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{3\pi}{8}\right]\cup\left(-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{8}\right]\cup\left(\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right).$$
$$\tg 3x<-\sqrt{3}$$
Так как $$\tg t<-\sqrt{3}$$ при
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<t<-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
то при $$t=3x$$ имеем
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<3x<-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
Делим на $$3$$:
$$-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}<x<-\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}.$$
На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2};-\frac{4\pi}{9}\right)\cup\left(-\frac{\pi}{6};-\frac{\pi}{9}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\frac{2\pi}{9}\right).$$
$$\ctg \frac{x}{2}<\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Так как $$\ctg t<\frac{\sqrt{3}}{3}$$ при
$$\frac{\pi}{3}+\pi n<t<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
то при $$t=\frac{x}{2}$$ имеем
$$\frac{\pi}{3}+\pi n<\frac{x}{2}<\pi+\pi n.$$
Умножаем на $$2$$:
$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<2\pi+2\pi n.$$
На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем
$$x\in\left(-\frac{\pi}{2};0\right).$$
$$\ctg \frac{x}{3}\ge 1$$
Так как $$\ctg t\ge 1$$ при
$$\pi n<t\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
то при $$t=\frac{x}{3}$$ имеем
$$\pi n<\frac{x}{3}\le \frac{\pi}{4}+\pi n.$$
Умножаем на $$3$$:
$$3\pi n<x\le \frac{3\pi}{4}+3\pi n.$$
На промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$ получаем
$$x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right).$$