Упр.879 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) ctgx + sin2x = ctg3x.

Подробный ответ

$$\cos^3 x-3\cos^2 x+\cos x+\sin 2x=2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right).$$
Преобразуем правую часть:
$$2\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{3x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\sin(x-\pi/2)+\sin 2x=-\cos x+\sin 2x.$$
Тогда
$$\cos^3 x-3\cos^2 x+\cos x+\sin 2x=-\cos x+\sin 2x,$$
откуда
$$\cos^3 x-3\cos^2 x+2\cos x=0.$$
Вынесем $$\cos x$$ за скобки:
$$\cos x(\cos^2 x-3\cos x+2)=0.$$
Получаем:
$$\cos x=0$$
или
$$\cos^2 x-3\cos x+2=0.$$
Пусть $$t=\cos x$$. Тогда
$$t^2-3t+2=0,$$
$$t_1=1,\quad t_2=2.$$
Значение $$t=2$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1]$$. Значит,
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
$$\ctg x+\sin 2x=\ctg 3x.$$
Запишем через синус и косинус:
$$\frac{\cos x}{\sin x}+\sin 2x=\frac{\cos 3x}{\sin 3x}.$$
Перенесём всё в одну сторону и умножим на $$\sin x\sin 3x$$:
$$\cos x\sin 3x+\sin 2x\sin x\sin 3x-\cos 3x\sin x=0.$$
Используем формулу
$$\cos x\sin 3x-\cos 3x\sin x=\sin(3x-x)=\sin 2x,$$
тогда
$$\sin 2x+\sin 2x\sin x\sin 3x=0,$$
$$\sin 2x\bigl(1+\sin x\sin 3x\bigr)=0.$$
Следовательно,
$$\sin 2x=0$$
или
$$1+\sin x\sin 3x=0.$$
Из второго уравнения
$$\sin x\sin 3x=-1,$$
что возможно только при $$\sin x=\pm1$$ и $$\sin 3x=\mp1$$, но тогда $$\sin 2x=0$$, поэтому все решения уже содержатся в первом случае.
Итак,
$$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Проверка области определения:
$$\sin x\ne 0,\quad \sin 3x\ne 0,$$
значит, из найденных значений исключаем $$x=\pi n$$ и $$x=\frac{\pi n}{3}$$. Остаются
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$