Упр.878 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. 878. Решить уравнение (878—881).
   1) $$\cos\sqrt{2-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
   2) $$\sin\frac{5\pi}{4}x=x^2-4x+5$$.

1. $$\cos\sqrt{2-x^2}=\frac{\sqrt3}{2}$$

   Так как $$\sqrt{2-x^2}\ge 0$$, то

   $$\sqrt{2-x^2}=\arccos\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{6}.$$

   Тогда

   $$2-x^2=\frac{\pi^2}{36},$$

   $$x^2=2-\frac{\pi^2}{36},$$

   $$x=\pm\sqrt{2-\frac{\pi^2}{36}}.$$

2. $$\sin\frac{5\pi}{4}x=x^2-4x+5$$

   Так как $$-1\le \sin\frac{5\pi}{4}x\le 1,$$ то правая часть тоже должна принадлежать отрезку $$[-1;1]$$:

   $$-1\le x^2-4x+5\le 1.$$

   Решим систему неравенств:

   $$x^2-4x+5\ge -1,$$

   $$x^2-4x+4\le 0.$$

   Из второго неравенства получаем

   $$\left(x-2\right)^2\le 0,$$

   значит, $$x=2.$$

   Проверка:

   $$\sin\frac{5\pi}{4}\cdot 2=\sin\frac{5\pi}{2}=1,$$

   $$2^2-4\cdot 2+5=1.$$

Ответ

1) $$x=\pm\sqrt{2-\frac{\pi^2}{36}}$$; 2) $$x=2$$.