Упр.876 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\operatorname{tg} 2x=3\operatorname{tg} x$$
2. $$\operatorname{ctg} 2x=2\operatorname{ctg} x$$
3. $$\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=2$$
4. $$\operatorname{tg}(2x+1)\operatorname{ctg}(x+1)=1$$

1. $$\tg 2x=3\tg x$$

   Используем формулу $$\tg 2x=\dfrac{2\tg x}{1-\tg^2 x}$$:

   $$\frac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=3\tg x$$
   $$2\tg x=3\tg x(1-\tg^2 x)$$
   $$2\tg x=3\tg x-3\tg^3 x$$
   $$3\tg^3 x-\tg x=0$$
   $$\tg x(3\tg^2 x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\tg x=0 \quad \text{или} \quad 3\tg^2 x-1=0$$
   $$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$
   $$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2. $$\ctg 2x=2\ctg x$$

   Используем формулу $$\ctg 2x=\dfrac{\ctg^2 x-1}{2\ctg x}$$:

   $$\frac{\ctg^2 x-1}{2\ctg x}=2\ctg x$$
   $$\ctg^2 x-1=4\ctg^2 x$$
   $$3\ctg^2 x+1=0$$

   Действительных решений нет.

3. $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=2$$

   Пусть $$t=\tg x$$. Тогда

   $$\tg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{t+1}{1-t}, \qquad \tg\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{t-1}{1+t}$$
   $$\frac{t+1}{1-t}+\frac{t-1}{1+t}=2$$
   $$\frac{(t+1)^2-(t-1)^2}{1-t^2}=2$$
   $$\frac{4t}{1-t^2}=2$$
   $$2t=1-t^2$$
   $$t^2+2t-1=0$$
   $$t=-1\pm \sqrt{2}$$

   Следовательно,

   $$x=\arctg(-1+\sqrt{2})+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg(-1-\sqrt{2})+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4. $$\tg(2x+1)\cdot \ctg(x+1)=1$$

   Так как $$\ctg(x+1)=\dfrac{1}{\tg(x+1)}$$, получаем

   $$\tg(2x+1)=\tg(x+1)$$
   $$2x+1=x+1+\pi n$$
   $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\; \pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
2) корней нет;
3) $$x=\arctg(-1+\sqrt{2})+\pi n,\; \arctg(-1-\sqrt{2})+\pi n,\; n\in\mathbb Z$$;
4) $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.