Упр.875 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) sinxtgx = cosx+tgx;
3) ctgx(ctgx + 1/sinx)=1;
4) 4ctg2x = 5-9/sinx.

1. $$\tg^2 3x-4\sin^2 3x=0$$

   $$\frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x}-4\sin^2 3x=0$$

   $$\frac{\sin^2 3x-4\sin^2 3x\cos^2 3x}{\cos^2 3x}=0$$

   $$\frac{\sin^2 3x\,(1-4\cos^2 3x)}{\cos^2 3x}=0$$

   Отсюда:
   $$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad 1-4\cos^2 3x=0.$$

   1) $$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}.$$

   2) $$1-4\cos^2 3x=0 \Rightarrow \cos 3x=\pm \frac12.$$

   Тогда
   $$3x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}.$$

   При этом $$\cos 3x\ne 0,$$ что не исключает найденные значения.

2. $$\sin x\cdot \tg x=\cos x+\tg x$$

   $$\sin x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}$$

   $$\frac{\sin^2 x-\cos^2 x-\sin x}{\cos x}=0$$

   $$\sin^2 x-(1-\sin^2 x)-\sin x=0$$

   $$2\sin^2 x-\sin x-1=0.$$

   Пусть $$y=\sin x,$$ тогда
   $$2y^2-y-1=0.$$

   $$D=1+8=9,$$
   $$y_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{1+3}{4}=1.$$

   1) $$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

   2) $$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
   но это не подходит, так как $$\cos x\ne 0$$ по области определения.

3. $$\ctg x\left(\ctg x+\frac1{\sin x}\right)=1$$

   $$\frac{\cos x}{\sin x}\left(\frac{\cos x}{\sin x}+\frac1{\sin x}\right)=1$$

   $$\frac{\cos^2 x+\cos x}{\sin^2 x}-1=0$$

   $$\cos^2 x+\cos x-\sin^2 x=0$$

   $$\cos^2 x+\cos x-(1-\cos^2 x)=0$$

   $$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$

   Пусть $$y=\cos x,$$ тогда
   $$2y^2+y-1=0.$$

   $$D=1+8=9,$$
   $$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$

   1) $$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n.$$

   2) $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

   Учитывая область определения $$\sin x\ne 0,$$ получаем ответ:
   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$

4. $$4\ctg^2 x=5-\frac9{\sin x}$$

   $$4\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=5-\frac9{\sin x}$$

   $$4\cos^2 x=5\sin^2 x-9\sin x$$

   $$4-4\sin^2 x=5\sin^2 x-9\sin x$$

   $$-9\sin^2 x+9\sin x+4=0.$$

   Пусть $$y=\sin x,$$ тогда
   $$9y^2-9y-4=0.$$

   $$D=81+144=225,$$
   $$y_1=\frac{9-15}{18}=-\frac13,\qquad y_2=\frac{9+15}{18}=\frac43.$$

   Значение $$\sin x=\frac43$$ невозможно, поэтому
   $$\sin x=-\frac13.$$

   Тогда
   $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n.$$

   С учётом области определения $$\sin x\ne 0$$ это решение подходит.

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \pm \frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3};$$
2) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n;$$
3) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n.$$