Упр.874 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0;
3) cosxcos3x =-0,5.

Подробный ответ

$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$$
Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов:
$$ (\sin x+\sin 4x)+(\sin 2x+\sin 3x)=0 $$
$$ 2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}+2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=0 $$
$$ 2\sin \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)=0 $$
$$ 2\sin \frac{5x}{2}\cdot 2\cos x\cos \frac{x}{2}=0 $$
$$ \sin \frac{5x}{2}\cos x\cos \frac{x}{2}=0 $$
Отсюда:
$$ \sin \frac{5x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0 $$
$$ x=\frac{2\pi n}{5}, \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z} $$
$$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=0$$
Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов:
$$ (\cos x+\cos 4x)+(\cos 2x+\cos 3x)=0 $$
$$ 2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}+2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=0 $$
$$ 2\cos \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)=0 $$
$$ 2\cos \frac{5x}{2}\cdot 2\cos x\cos \frac{x}{2}=0 $$
$$ \cos \frac{5x}{2}\cos x\cos \frac{x}{2}=0 $$
Отсюда:
$$ \cos \frac{5x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0 $$
$$ x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5}, \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z} $$
$$\cos x\cos 3x=-0{,}5$$
Используем формулу $$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$$:
$$ \cos x(4\cos^3 x-3\cos x)=-\frac12 $$
$$ 4\cos^4 x-3\cos^2 x+\frac12=0 $$
Умножим на $$2$$ и введём замену $$t=\cos^2 x$$:
$$ 8t^2-6t+1=0 $$
$$ D=36-32=4 $$
$$ t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{16} $$
$$ t_1=\frac12,\quad t_2=\frac14 $$
Тогда:
$$ \cos^2 x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos^2 x=\frac14 $$
$$ \cos x=\pm \frac{1}{\sqrt2} \quad \text{или} \quad \cos x=\pm \frac12 $$
Следовательно,
$$ x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z} $$