Упр.874 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$$
2. $$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=0$$
3. $$\cos x\cos 3x=-0{,}5$$

1. $$\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\sin 4x=0$$

   Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы синусов:

   $$(\sin x+\sin 4x)+(\sin 2x+\sin 3x)=0$$

   $$2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}+2\sin \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$$

   $$2\sin \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)=0$$

   $$2\sin \frac{5x}{2}\cdot 2\cos x\cos \frac{x}{2}=0$$

   $$\sin \frac{5x}{2}\cos x\cos \frac{x}{2}=0$$

   Отсюда:

   $$\sin \frac{5x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0$$

   $$x=\frac{2\pi n}{5}, \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

2. $$\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cos 4x=0$$

   Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов:

   $$(\cos x+\cos 4x)+(\cos 2x+\cos 3x)=0$$

   $$2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{3x}{2}+2\cos \frac{5x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$$

   $$2\cos \frac{5x}{2}\left(\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{x}{2}\right)=0$$

   $$2\cos \frac{5x}{2}\cdot 2\cos x\cos \frac{x}{2}=0$$

   $$\cos \frac{5x}{2}\cos x\cos \frac{x}{2}=0$$

   Отсюда:

   $$\cos \frac{5x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0$$

   $$x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5}, \quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n, \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

3. $$\cos x\cos 3x=-0{,}5$$

   Используем формулу $$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$$:

   $$\cos x(4\cos^3 x-3\cos x)=-\frac12$$

   $$4\cos^4 x-3\cos^2 x+\frac12=0$$

   Умножим на $$2$$ и введём замену $$t=\cos^2 x$$:

   $$8t^2-6t+1=0$$

   $$D=36-32=4$$

   $$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{16}$$

   $$t_1=\frac12,\quad t_2=\frac14$$

   Тогда:

   $$\cos^2 x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos^2 x=\frac14$$

   $$\cos x=\pm \frac{1}{\sqrt2} \quad \text{или} \quad \cos x=\pm \frac12$$

   Следовательно,

   $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$

Ответ

1) $$x=\frac{2\pi n}{5},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

2) $$x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$

3) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$