Упр.873 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

$$5+\sin 2x=5(\sin x+\cos x)$$
$$2+2\cos x=3\sin x\cos x+2\sin x$$

Подробный ответ

$$5+\sin 2x=5(\sin x+\cos x)$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$5+2\sin x\cos x=5\sin x+5\cos x.$$
Перенесём всё в одну сторону и введём замену $$y=\sin x+\cos x$$:
$$5+\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x-5(\sin x+\cos x)=0,$$
$$4+(\sin x+\cos x)^2-5(\sin x+\cos x)=0,$$
$$y^2-5y+4=0.$$
$$D=25-16=9,$$
$$y_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad y_2=\frac{5+3}{2}=4.$$
1) $$\sin x+\cos x=1.$$ Тогда
$$\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Отсюда
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$
$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
2) $$\sin x+\cos x=4.$$ Но $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}],$$ поэтому это уравнение решений не имеет.
$$2+2\cos x=3\sin x\cos x+2\sin x.$$
Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:
$$1+\cos^2 x+\sin^2 x+2\cos x-3\sin x\cos x-2\sin x=0,$$
$$1+3(\cos x-\sin x)^2+4(\cos x-\sin x)=0.$$
Пусть $$y=\cos x-\sin x$$. Тогда
$$3y^2+4y+1=0.$$
$$D=16-12=4,$$
$$y_1=\frac{-4-2}{6}=-1,\qquad y_2=\frac{-4+2}{6}=-\frac13.$$
1) $$\cos x-\sin x=-1.$$ Тогда
$$\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Отсюда
$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n.$$
2) $$\cos x-\sin x=-\frac13.$$ Тогда
$$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=-\frac13,$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{3\sqrt{2}}.$$
Следовательно,
$$x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\arcsin\frac{1}{3\sqrt{2}}+\pi n,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{1}{3\sqrt{2}}+\pi n.$$