Упр.872 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) sinxcos5x = sin9xcos3x.

1. $$\cos x\sin 9x=\cos 3x\sin 7x$$

   Используем формулу произведения в сумму:
   $$\cos a\sin b=\frac12\bigl(\sin(b+a)+\sin(b-a)\bigr).$$

   Тогда
   $$ \frac12\bigl(\sin(9x+x)+\sin(9x-x)\bigr)=\frac12\bigl(\sin(7x+3x)+\sin(7x-3x)\bigr), $$
   откуда
   $$ \sin 10x+\sin 8x=\sin 10x+\sin 4x. $$
   Следовательно,
   $$ \sin 8x-\sin 4x=0. $$

   Преобразуем разность синусов:
   $$ \sin 8x-\sin 4x=2\cos 6x\sin 2x. $$
   Значит,
   $$ 2\cos 6x\sin 2x=0, $$
   откуда
   $$ \cos 6x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0. $$

   1) $$\cos 6x=0 \Rightarrow 6x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}.$$

   2) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}.$$

2. $$\sin x\cos 5x=\sin 9x\cos 3x$$

   Используем формулу произведения в сумму:
   $$\sin a\cos b=\frac12\bigl(\sin(a-b)+\sin(a+b)\bigr).$$

   Тогда
   $$ \frac12\bigl(\sin(x-5x)+\sin(x+5x)\bigr)=\frac12\bigl(\sin(9x-3x)+\sin(9x+3x)\bigr), $$
   то есть
   $$ \sin(-4x)+\sin 6x=\sin 6x+\sin 12x. $$
   Получаем
   $$ \sin 12x+\sin 4x=0. $$

   Преобразуем сумму синусов:
   $$ \sin 12x+\sin 4x=2\sin 8x\cos 4x. $$
   Значит,
   $$ 2\sin 8x\cos 4x=0, $$
   откуда
   $$ \sin 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0. $$

   1) $$\sin 8x=0 \Rightarrow 8x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{8}.$$

   2) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi n}{8},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$