Упр.871 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) cos 7x — cos3x = 3sin5x.

1. $$\sin x+\sin 5x=\sin 3x$$

   Используем формулу суммы синусов:

   $$\sin x+\sin 5x=2\sin\frac{x+5x}{2}\cos\frac{x-5x}{2}=2\sin 3x\cos 2x.$$

   Тогда

   $$2\sin 3x\cos 2x=\sin 3x,$$

   $$\sin 3x\,(2\cos 2x-1)=0.$$

   Отсюда:

   $$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x-1=0.$$

   1) $$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z.$$

   2) $$2\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac12.$$

   Тогда

   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos 7x-\cos 3x=3\sin 5x$$

   Используем формулу разности косинусов:

   $$\cos 7x-\cos 3x=-2\sin\frac{7x+3x}{2}\sin\frac{7x-3x}{2}=-2\sin 5x\sin 2x.$$

   Тогда

   $$-2\sin 5x\sin 2x=3\sin 5x,$$

   $$-\sin 5x\,(2\sin 2x+3)=0.$$

   Отсюда:

   $$\sin 5x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin 2x+3=0.$$

   Но уравнение $$2\sin 2x+3=0$$ не имеет решений, так как $$\sin 2x\in[-1,1]$$ и значение $$-\frac32$$ невозможно.

   Значит, остаётся

   $$\sin 5x=0 \Rightarrow 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$