Упр.870 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\sin^4 x-\cos^4 x+2\cos^2 x=\cos 2x$$
2. $$2\sin^2 x-\cos 4x=1-\sin^4 x$$

1) Преобразуем левую часть, используя формулы $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$\sin^4 x-\cos^4 x+2\cos^2 x=\cos 2x$$
$$(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)+2\cos^2 x=\cos^2 x-\sin^2 x$$
$$\sin^2 x-\cos^2 x+2\cos^2 x=\cos^2 x-\sin^2 x$$
$$2\sin^2 x=0$$
$$\sin x=0$$
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) Аналогично преобразуем уравнение:

$$2\sin^2 x-\cos^4 x=1-\sin^4 x$$
$$2\sin^2 x-1-(\cos^4 x-\sin^4 x)=0$$
$$2\sin^2 x-(\cos^2 x+\sin^2 x)-(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=0$$
$$2\sin^2 x-\cos^2 x-\sin^2 x-\cos^2 x+\sin^2 x=0$$
$$2\sin^2 x-2\cos^2 x=0$$
$$\sin^2 x-\cos^2 x=0$$
$$-\cos 2x=0$$
$$\cos 2x=0$$
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$