Упр.870 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) 2sin2x — cos4x = 1 — sin4x.

1) Преобразуем левую часть, используя формулы $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$ \sin^4 x-\cos^4 x+2\cos^2 x=\cos 2x $$
$$ (\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)+2\cos^2 x=\cos^2 x-\sin^2 x $$
$$ \sin^2 x-\cos^2 x+2\cos^2 x=\cos^2 x-\sin^2 x $$
$$ 2\sin^2 x=0 $$
$$ \sin x=0 $$
$$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

2) Аналогично преобразуем уравнение:

$$ 2\sin^2 x-\cos^4 x=1-\sin^4 x $$
$$ 2\sin^2 x-1-(\cos^4 x-\sin^4 x)=0 $$
$$ 2\sin^2 x-(\cos^2 x+\sin^2 x)-(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=0 $$
$$ 2\sin^2 x-\cos^2 x-\sin^2 x-\cos^2 x+\sin^2 x=0 $$
$$ 2\sin^2 x-2\cos^2 x=0 $$
$$ \sin^2 x-\cos^2 x=0 $$
$$ -\cos 2x=0 $$
$$ \cos 2x=0 $$
$$ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$