Упр.869 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) 2sin2x + sin2 2x = 2;
3) 8 sinx cos 2x cosx = корень 3;
4) 4sinxcosxcos2x = cos4x.

1. $$\sin^3 x+\cos^3 x=0$$

   Разложим сумму кубов:
   $$\left(\sin x+\cos x\right)\left(\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x\right)=0.$$

   Тогда
   $$\left(\sin x+\cos x\right)\left(1-\sin x\cos x\right)=0.$$

   Второй множитель не обращается в нуль, так как
   $$\sin x\cos x\le \frac12,$$
   значит
   $$1-\sin x\cos x\ne 0.$$

   Следовательно,
   $$\sin x+\cos x=0,$$
   откуда
   $$\tg x=-1.$$

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$2\sin^2 x+\sin^2 2x=2$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
   $$2\sin^2 x+4\sin^2 x\cos^2 x=2.$$

   Подставим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
   $$ 2\sin^2 x+4\sin^2 x(1-\sin^2 x)=2. $$

   Получаем:
   $$ 2\sin^4 x-3\sin^2 x+1=0. $$

   Пусть $$y=\sin^2 x$$. Тогда
   $$ 2y^2-3y+1=0, $$
   $$ (2y-1)(y-1)=0. $$

   Отсюда
   $$y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=1.$$

   1) Если $$\sin^2 x=\frac12,$$ то
   $$\sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2},$$
   значит
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

   2) Если $$\sin^2 x=1,$$ то
   $$\sin x=\pm 1,$$
   значит
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$8\sin x\cos 2x\cos x=\sqrt3$$

   Сгруппируем множители:
   $$8\sin x\cos x\cos 2x=\sqrt3.$$

   Так как $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$ получаем
   $$ 4\sin 2x\cos 2x=\sqrt3. $$

   Используем формулу $$2\sin 4x=4\sin 2x\cos 2x$$:
   $$ 2\sin 4x=\sqrt3, $$
   $$ \sin 4x=\frac{\sqrt3}{2}. $$

   Тогда
   $$4x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   откуда
   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$4\sin x\cos x\cos 2x=\cos 4x$$

   Так как $$2\sin x\cos x=\sin 2x,$$ имеем
   $$ 2\sin 2x\cos 2x=\cos 4x. $$

   По формуле $$2\sin 2x\cos 2x=\sin 4x$$ получаем
   $$ \sin 4x=\cos 4x. $$

   Тогда
   $$\tg 4x=1,$$
   значит
   $$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,
   $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$
4) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$