Упр.868 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) sin4 x/3 + cos4 x/3 = 5/8.

1) $$4\sin^4 x+\sin^2 2x=2.$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$4\sin^4 x+4\sin^2 x\cos^2 x=2.$$

Вынесем общий множитель:

$$4\sin^2 x(\sin^2 x+\cos^2 x)=2.$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$4\sin^2 x=2,$$

$$\sin^2 x=\frac12.$$

Тогда

$$\sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

2) $$\sin^4\frac{x}{3}+\cos^4\frac{x}{3}=\frac58.$$

Преобразуем левую часть по формуле

$$a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2.$$

Тогда

$$\left(\sin^2\frac{x}{3}+\cos^2\frac{x}{3}\right)^2-2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3}=\frac58.$$

Так как $$\sin^2\frac{x}{3}+\cos^2\frac{x}{3}=1,$$ имеем

$$1-2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3}=\frac58.$$

Используем формулу $$\sin 2t=2\sin t\cos t$$ при $$t=\frac{x}{3}:$$

$$2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3}=\frac12\sin^2\frac{2x}{3}.$$

Тогда

$$1-\frac12\sin^2\frac{2x}{3}=\frac58,$$

$$\frac12\sin^2\frac{2x}{3}=\frac38,$$

$$\sin^2\frac{2x}{3}=\frac34.$$

Значит,

$$\sin\frac{2x}{3}=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда

$$\frac{2x}{3}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

и поэтому

$$x=\pm \frac{\pi}{2}+\frac{3\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in \mathbb Z.$$

2) $$x=\pm \frac{\pi}{2}+\frac{3\pi n}{2},\ n\in \mathbb Z.$$