Упр.866 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) cosx — cos5x = 0;
3) sin 3x + sin x = 2sin 2x;
4) sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Подробный ответ

$$\cos x+\cos 2x=0$$
Используем формулу суммы косинусов:
$$2\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=0$$
Тогда
$$\cos \frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0.$$
1) $$\frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3};$$
2) $$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pi+2\pi n.$$
Но значения $$x=\pi+2\pi n$$ входят в множество $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$$ при целых $$n$$, поэтому можно записать ответ:
$$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in \mathbb{Z}.$$
$$\cos x-\cos 5x=0$$
Применим формулу разности косинусов:
$$-2\sin \frac{x+5x}{2}\sin \frac{x-5x}{2}=0$$
$$2\sin 3x\sin 2x=0$$
Следовательно,
$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$
1) $$3x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{3};$$
2) $$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2}.$$
Ответ можно записать так:
$$x=\frac{\pi n}{2}\quad \text{или} \quad x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb{Z}.$$
$$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x$$
Преобразуем левую часть:
$$2\sin 2x\cos x=2\sin 2x$$
$$2\sin 2x(\cos x-1)=0$$
Отсюда
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$
1) $$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2};$$
2) $$x=2\pi n.$$
Так как $$x=2\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$, окончательно:
$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$
$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$\left(\sin x+\sin 3x\right)+\sin 2x=0$$
$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0$$
$$\sin 2x(2\cos x+1)=0$$
Следовательно,
$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0.$$
1) $$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2};$$
2) $$\cos x=-\frac12,\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$