Упр.865 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) sin 4x = cos4 x — sin4 x;
3) 2cos2x =1 + 4sin2x;
4) 2cosx + cos2x = 2sinx.

1. $$\sin 2x=3\cos x$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$2\sin x\cos x=3\cos x$$

   $$\cos x(2\sin x-3)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-3=0$$

   Уравнение $$2\sin x-3=0$$ не имеет решений, так как $$\sin x=\frac{3}{2}$$ невозможно.

   Значит,

   $$\cos x=0$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

2. $$\sin 4x=\cos^4 x-\sin^4 x$$

   Преобразуем правую часть:

   $$\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=\cos 2x$$

   Тогда

   $$\sin 4x=\cos 2x$$

   Но $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$, значит

   $$2\sin 2x\cos 2x=\cos 2x$$

   $$\cos 2x(2\sin 2x-1)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=\frac12$$

   1) $$\cos 2x=0$$, тогда

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}$$

   2) $$\sin 2x=\frac12$$, тогда

   $$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}$$

3. $$2\cos^2 x=1+4\sin 2x$$

   Используем $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

   $$2\cos^2 x-(\cos^2 x+\sin^2 x)=4\sin 2x$$

   $$\cos^2 x-\sin^2 x=4\sin 2x$$

   $$\cos 2x=4\sin 2x$$

   Так как $$\sin 2x\neq 0$$, делим на $$\sin 2x$$:

   $$\ctg 2x=4$$

   $$2x=\operatorname{arcctg}4+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   $$x=\frac12\operatorname{arcctg}4+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb{Z}$$

4. $$2\cos x+\cos 2x=2\sin x$$

   Перенесём всё в одну сторону и заменим $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

   $$2\cos x-2\sin x+\cos 2x=0$$

   $$2(\cos x-\sin x)+(\cos^2 x-\sin^2 x)=0$$

   $$2(\cos x-\sin x)+(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=0$$

   $$(\cos x-\sin x)(2+\cos x+\sin x)=0$$

   Отсюда:

   1) $$\cos x-\sin x=0$$, тогда

   $$\tg x=1$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}$$

   2) $$2+\cos x+\sin x=0$$, то есть $$\cos x+\sin x=-2$$.

   Но $$\cos x+\sin x\in[-\sqrt2,\sqrt2]$$, поэтому решений нет.

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$ или $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$;
3) $$x=\frac12\operatorname{arcctg}4+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$;
4) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$.