Упр.864 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) sin 4x = sin 2x;
3) cos 2x + cos2 x = 0;
4) sin 2x = cos2 x.

1. $$\sin 2x=3\sin x\cos^2 x$$
   $$2\sin x\cos x-3\sin x\cos^2 x=0$$
   $$\sin x\cos x(2-3\cos x)=0$$
   Отсюда:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad 2-3\cos x=0.$$
   Тогда
   $$x=\pi n,$$
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$\cos x=\frac{2}{3}, \quad x=\pm \arccos \frac{2}{3}+2\pi n,$$
   где $$n\in \mathbb{Z}.$$
2. $$\sin 4x=\sin 2x$$
   $$2\sin 2x\cos 2x-\sin 2x=0$$
   $$\sin 2x(2\cos 2x-1)=0$$
   Отсюда:
   $$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x-1=0.$$
   Тогда
   $$2x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{2},$$
   $$\cos 2x=\frac12,\quad 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,$$
   где $$n\in \mathbb{Z}.$$
3. $$\cos 2x+\cos^2 x=0$$
   $$\cos^2 x-\sin^2 x+\cos^2 x=0$$
   $$2\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=0$$
   $$3\cos^2 x-1=0$$
   $$\cos^2 x=\frac13$$
   $$\cos x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$
   Значит,
   $$x=\pm \arccos \frac{1}{\sqrt{3}}+2\pi n,$$
   $$x=\pm \arccos \frac{1}{\sqrt{3}}+\pi+2\pi n,$$
   что можно записать как
   $$x=\pm \arccos \frac{1}{\sqrt{3}}+\pi n,$$
   где $$n\in \mathbb{Z}.$$
4. $$\sin 2x=\cos^2 x$$
   $$2\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$
   $$\cos x(2\sin x-\cos x)=0$$
   Отсюда:
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-\cos x=0.$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
   $$2\tan x-1=0,\quad \tan x=\frac12,\quad x=\arctan \frac12+\pi n,$$
   где $$n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm \arccos \frac{2}{3}+2\pi n;$$
2) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm \frac{\pi}{6}+\pi n;$$
3) $$x=\pm \arccos \frac{1}{\sqrt{3}}+\pi n;$$
4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \arctan \frac12+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$