Упр.863 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) (tgx + 3)(tgx + 1) = 0.

1. $$ (3-4\sin x)(3+4\cos x)=0 $$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

   $$ 3-4\sin x=0 \quad \text{или} \quad 3+4\cos x=0 $$

   $$ \sin x=\frac34 $$
   поэтому
   $$ x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   $$ \cos x=-\frac34 $$
   поэтому
   $$ x=\pm\left(\pi-\arccos\frac34\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$ (\tg x+3)(\tg x+1)=0 $$

   Тогда

   $$ \tg x+3=0 \quad \text{или} \quad \tg x+1=0 $$

   $$ \tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$

   $$ \tg x=-1 \Rightarrow x=-\arctg 1+\pi n=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad x=\pm\left(\pi-\arccos\frac34\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=-\arctg 3+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$