Упр.861 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. 861. Решить уравнение (861—876):
   1) $$\sin 2x=\frac{1}{2}$$;
   2) $$\cos 3x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   3) $$2\operatorname{tg}x+5=0$$.

1. $$\sin 2x=\frac12$$

   Тогда

   $$2x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на 2:

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos 3x=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   Получаем

   $$3x=\pm \arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Делим на 3:

   $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$2\tg x+5=0$$

   Тогда

   $$\tg x=-\frac52.$$

   Следовательно,

   $$x=\arctg\left(-\frac52\right)+\pi n=-\arctg\frac52+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z;$$
2) $$x=\pm \frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z;$$
3) $$x=-\arctg\frac52+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$