Упр.86 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$\operatorname{ctg} x > 4$$;
2. $$\operatorname{tg} x \leq 5$$;
3. $$\operatorname{ctg} x < -4$$;
4. $$\operatorname{tg} x \geq -5$$.

1. $$\ctg x>4$$

   На каждом промежутке $$\pi n<x<\pi+\pi n$$ функция $$\ctg x$$ убывает, поэтому

   $$\pi n<x<\operatorname{arcctg}4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\tg x\le 5$$

   На каждом промежутке $$-\dfrac{\pi}{2}+\pi n<x<\dfrac{\pi}{2}+\pi n$$ функция $$\tg x$$ возрастает, значит

   $$-\dfrac{\pi}{2}+\pi n<x\le \arctg 5+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\ctg x<-4$$

   Так как $$\ctg x$$ убывает на промежутке $$\pi n<x<\pi+\pi n,$$ получаем

   $$\operatorname{arcctg}(-4)+\pi n<x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   С учётом того, что $$\operatorname{arcctg}(-4)=\pi-\operatorname{arcctg}4,$$ можно записать:

   $$-\operatorname{arcctg}4+\pi n<x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\tg x\ge -5$$

   Функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке $$-\dfrac{\pi}{2}+\pi n<x<\dfrac{\pi}{2}+\pi n,$$ поэтому

   $$-\arctg 5+\pi n\le x<\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\pi n<x<\operatorname{arcctg}4+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
2) $$-\dfrac{\pi}{2}+\pi n<x\le \arctg 5+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
3) $$-\operatorname{arcctg}4+\pi n<x<\pi+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
4) $$-\arctg 5+\pi n\le x<\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$