Упр.859 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Решить уравнение $$\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$$ и указать любой его положительный корень.

Решим уравнение:

$$\cos\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12.$$

Значение косинуса равно $$\frac12$$, когда

$$3x-\frac{\pi}{4}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

Рассмотрим оба случая:

$$3x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$3x=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}+2\pi n=\frac{7\pi}{12}+2\pi n,$$

$$x=\frac{7\pi}{36}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Или

$$3x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$3x=-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}+2\pi n=-\frac{\pi}{12}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{36}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Подходит, например, положительный корень

$$x=\frac{7\pi}{36}.$$

Ответ

$$\frac{7\pi}{36}$$