Упр.858 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) корень 7-log корень 3 (3×2-24x) = log9(x2-8x), sin < tg2x; 2) корень log1/6(x2+1/6x) * log36x2+6x 6 =1, sinx > tg6x.

Подробный ответ

1) Обозначим $$y=\log_3(x^2-8x).$$ Тогда

$$\sqrt{7-\log_{\sqrt3}(3x^2-24x)}=\log_9(x^2-8x)$$

так как $$\log_{\sqrt3}(3x^2-24x)=2\log_3(x^2-8x)+1=2y+1,$$ а $$\log_9(x^2-8x)=\frac12\log_3(x^2-8x)=\frac y2,$$ получаем

$$\sqrt{7-(2y+1)}=\frac y2,$$

$$\sqrt{6-2y}=\frac y2.$$

Возведём в квадрат:

$$6-2y=\frac{y^2}{4},$$

$$y^2+8y-24=0.$$

$$D=8^2+4\cdot 24=160,$$

$$y_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{160}}{2}=-4\pm 2\sqrt{10}.$$

С учётом области определения $$6-2y\ge 0,$$ то есть $$y\le 3,$$ подходит только

$$y=-4+2\sqrt{10}.$$

Тогда

$$\log_3(x^2-8x)=-4+2\sqrt{10},$$

$$x^2-8x=3^{-4+2\sqrt{10}}.$$

Но по неравенству $$\sin x<\tg 2x$$ из найденных корней подходит только тот, для которого выполняется это условие. В данном случае это решение не удовлетворяет неравенству, поэтому уравнение в совокупности с неравенством решений не имеет.

2) Обозначим $$y=\log_6\!\left(x^2+\frac16x\right).$$ Тогда

$$\sqrt{\log_{1/6}\!\left(x^2+\frac16x\right)\cdot \log_{36x^2+6x}6}=1.$$

Так как

$$\log_{1/6}A=-\log_6A,\qquad \log_{36x^2+6x}6=\frac1{\log_6(36x^2+6x)},$$

то после преобразований получаем

$$\sqrt{-y}=2+y.$$

Возведём в квадрат:

$$-y=(2+y)^2,$$

$$y^2+5y+4=0,$$

$$y_1=-4,\quad y_2=-1.$$

С учётом области определения $$-2\le y\le 0$$ подходит только

$$y=-1.$$