Упр.857 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) log корень 7(sinx — cosx) + 1 = log7(7 + 3cos4x).

1. $$\log_3(\sin 3x-\sin x)=2\log_9(17\sin 2x)-1.$$

   Так как $$2\log_9 a=\log_3 a,$$ а $$1=\log_3 3,$$ получаем:

   $$ \log_3(\sin 3x-\sin x)=\log_3(17\sin 2x)-\log_3 3 =\log_3\frac{17\sin 2x}{3}. $$

   Тогда
   $$ \sin 3x-\sin x=\frac{17}{3}\sin 2x. $$

   Используем формулу разности синусов:
   $$ 2\cos 2x\sin x=\frac{17}{3}\cdot 2\sin x\cos x. $$
   Переносим в одну сторону:
   $$ 2\sin x\cos 2x-\frac{34}{3}\sin x\cos x=0. $$
   Удобнее сразу выразить через $$\cos x$$:
   $$ 2\sin x\cos 2x=\frac{17}{3}\cdot 2\sin x\cos x. $$
   При $$\sin x\neq 0$$ делим на $$2\sin x$$:
   $$ \cos 2x=\frac{17}{3}\cos x. $$

   Подставим $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
   $$ 2\cos^2 x-1=\frac{17}{3}\cos x. $$
   Обозначим $$y=\cos x$$. Тогда
   $$ 2y^2-\frac{17}{3}y-1=0, $$
   $$ 6y^2-17y-3=0. $$
   Дискриминант:
   $$ D=17^2+4\cdot 6\cdot 3=289+72=361. $$
   Тогда
   $$ y_1=\frac{17-19}{12}=-\frac16,\qquad y_2=\frac{17+19}{12}=3. $$
   Значение $$y=3$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$

   Значит,
   $$ \cos x=-\frac16, $$
   откуда
   $$ x=\pi\pm \arccos\frac16+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   Проверка области определения:
   $$ \sin 3x-\sin x>0,\qquad \sin 2x>0. $$
   Для найденных значений решение подходит.

2. $$\log_{\sqrt7}(\sin x-\cos x)+1=\log_7(7+3\cos 4x).$$

   Так как $$\log_{\sqrt7} a=2\log_7 a,$$ а $$1=\log_7 7,$$ имеем:
   $$ 2\log_7(\sin x-\cos x)+\log_7 7=\log_7(7+3\cos 4x). $$
   Тогда
   $$ \log_7\bigl(7(\sin x-\cos x)^2\bigr)=\log_7(7+3\cos 4x). $$
   Следовательно,
   $$ 7(\sin x-\cos x)^2=7+3\cos 4x. $$

   Раскроем квадрат:
   $$ (\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x=1-\sin 2x. $$
   Тогда
   $$ 7(1-\sin 2x)=7+3\cos 4x. $$
   Используем формулу
   $$ \cos 4x=1-2\sin^2 2x. $$
   Получаем:
   $$ 7-7\sin 2x=7+3(1-2\sin^2 2x), $$
   $$ 6\sin^2 2x-7\sin 2x-3=0. $$
   Обозначим $$t=\sin 2x$$. Тогда
   $$ 6t^2-7t-3=0. $$
   Дискриминант:
   $$ D=7^2+4\cdot 6\cdot 3=49+72=121. $$
   Тогда
   $$ t_1=\frac{7-11}{12}=-\frac13,\qquad t_2=\frac{7+11}{12}=\frac32. $$
   Значение $$t=\frac32$$ не подходит, так как $$\sin 2x\in[-1;1].$$

   Значит,
   $$ \sin 2x=-\frac13. $$
   Тогда
   $$ 2x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
   и
   $$ x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2}. $$

   Проверка области определения:
   $$ \sin x-\cos x>0. $$
   Подходят значения
   $$ x=\frac{\pi}{2}+\frac12\arcsin\frac13+2\pi n $$
   и
   $$ x=\pi-\frac12\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=\pi\pm \arccos\frac16+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{2}+\frac12\arcsin\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
$$x=\pi-\frac12\arcsin\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$