Упр.857 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{3}(\sin 3x-\sin x)=2\log_{9}(17\sin 2x)-1$$
2. $$\log_{\sqrt{7}}(\sin x-\cos x)+1=\log_{7}(7+3\cos 4x)$$

1. $$\log_3(\sin 3x-\sin x)=2\log_9(17\sin 2x)-1.$$

   Так как $$2\log_9 a=\log_3 a,$$ а $$1=\log_3 3,$$ получаем:

   $$\log_3(\sin 3x-\sin x)=\log_3(17\sin 2x)-\log_3 3 =\log_3\frac{17\sin 2x}{3}.$$

   Тогда
   $$\sin 3x-\sin x=\frac{17}{3}\sin 2x.$$

   Используем формулу разности синусов:
   $$2\cos 2x\sin x=\frac{17}{3}\cdot 2\sin x\cos x.$$
   Переносим в одну сторону:
   $$2\sin x\cos 2x-\frac{34}{3}\sin x\cos x=0.$$
   Удобнее сразу выразить через $$\cos x$$:
   $$2\sin x\cos 2x=\frac{17}{3}\cdot 2\sin x\cos x.$$
   При $$\sin x\neq 0$$ делим на $$2\sin x$$:
   $$\cos 2x=\frac{17}{3}\cos x.$$

   Подставим $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:
   $$2\cos^2 x-1=\frac{17}{3}\cos x.$$
   Обозначим $$y=\cos x$$. Тогда
   $$2y^2-\frac{17}{3}y-1=0,$$
   $$6y^2-17y-3=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=17^2+4\cdot 6\cdot 3=289+72=361.$$
   Тогда
   $$y_1=\frac{17-19}{12}=-\frac16,\qquad y_2=\frac{17+19}{12}=3.$$
   Значение $$y=3$$ не подходит, так как $$\cos x\in[-1;1].$$

   Значит,
   $$\cos x=-\frac16,$$
   откуда
   $$x=\pi\pm \arccos\frac16+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Проверка области определения:
   $$\sin 3x-\sin x>0,\qquad \sin 2x>0.$$
   Для найденных значений решение подходит.

2. $$\log_{\sqrt7}(\sin x-\cos x)+1=\log_7(7+3\cos 4x).$$

   Так как $$\log_{\sqrt7} a=2\log_7 a,$$ а $$1=\log_7 7,$$ имеем:
   $$2\log_7(\sin x-\cos x)+\log_7 7=\log_7(7+3\cos 4x).$$
   Тогда
   $$\log_7\bigl(7(\sin x-\cos x)^2\bigr)=\log_7(7+3\cos 4x).$$
   Следовательно,
   $$7(\sin x-\cos x)^2=7+3\cos 4x.$$

   Раскроем квадрат:
   $$(\sin x-\cos x)^2=\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x=1-\sin 2x.$$
   Тогда
   $$7(1-\sin 2x)=7+3\cos 4x.$$
   Используем формулу
   $$\cos 4x=1-2\sin^2 2x.$$
   Получаем:
   $$7-7\sin 2x=7+3(1-2\sin^2 2x),$$
   $$6\sin^2 2x-7\sin 2x-3=0.$$
   Обозначим $$t=\sin 2x$$. Тогда
   $$6t^2-7t-3=0.$$
   Дискриминант:
   $$D=7^2+4\cdot 6\cdot 3=49+72=121.$$
   Тогда
   $$t_1=\frac{7-11}{12}=-\frac13,\qquad t_2=\frac{7+11}{12}=\frac32.$$
   Значение $$t=\frac32$$ не подходит, так как $$\sin 2x\in[-1;1].$$

   Значит,
   $$\sin 2x=-\frac13.$$
   Тогда
   $$2x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   и
   $$x=(-1)^{n+1}\frac12\arcsin\frac13+\frac{\pi n}{2}.$$

   Проверка области определения:
   $$\sin x-\cos x>0.$$
   Подходят значения
   $$x=\frac{\pi}{2}+\frac12\arcsin\frac13+2\pi n$$
   и
   $$x=\pi-\frac12\arcsin\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi\pm \arccos\frac16+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{2}+\frac12\arcsin\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
$$x=\pi-\frac12\arcsin\frac13+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$