Упр.856 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) log27 (sin2x — 1/3cos) = 1/3 + log3(-cosx).

1. $$\log_{\sqrt6}\ctg x=1+\log_6\left(\frac32-\cos2x\right).$$
   Перейдём к основанию $6$:
   $$\log_6\ctg^2 x=\log_6 6+\log_6\left(\frac32-\cos2x\right)=\log_6\left(9-6\cos2x\right).$$
   Тогда
   $$\ctg^2 x=9-6\cos2x.$$
   Так как
   $$\ctg^2 x=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}, \qquad \cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x,$$
   получаем
   $$\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=9-6(\cos^2 x-\sin^2 x).$$
   Умножим на $\sin^2 x$:
   $$\cos^2 x=9\sin^2 x-6\sin^2 x\cos^2 x+6\sin^4 x.$$
   Обозначим $y=\cos^2 x$, тогда $\sin^2 x=1-y$:
   $$\frac{y}{1-y}=9-6y+6(1-y)=15-12y.$$
   Отсюда
   $$y=(1-y)(15-12y),$$
   $$y=15-27y+12y^2,$$
   $$12y^2-28y+15=0.$$
   Решаем квадратное уравнение:
   $$D=28^2-4\cdot12\cdot15=64,$$
   $$y_1=\frac{28-8}{24}=\frac56,\qquad y_2=\frac{28+8}{24}=\frac32.$$
   Значение $y_2=\frac32$ не подходит, так как $\cos^2 x\le 1$. Значит,
   $$\cos^2 x=\frac56.$$
   Тогда
   $$\cos2x=2\cos^2 x-1=2\cdot\frac56-1=\frac23.$$
   Из области определения исходного логарифма:
   $$\ctg x>0.$$
   При $\cos2x=\frac23$ имеем
   $$x=\pm \frac12\arccos\frac23+\pi n,$$
   и с учётом условия $\ctg x>0$ остаётся
   $$x=\frac12\arccos\frac23+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\log_{27}\left(\sin2x-\frac13\cos x\right)=\frac13+\log_3(-\cos x).$$
   Так как $27=3^3$, то
   $$\frac13\log_3\left(\sin2x-\frac13\cos x\right)=\frac13+\log_3(-\cos x).$$
   Умножим на $3$:
   $$\log_3\left(\sin2x-\frac13\cos x\right)=1+3\log_3(-\cos x).$$
   Используем свойства логарифмов:
   $$1=\log_3 3,\qquad 3\log_3(-\cos x)=\log_3(-\cos x)^3.$$
   Тогда
   $$\log_3\left(\sin2x-\frac13\cos x\right)=\log_3\left(-3\cos^3 x\right),$$
   откуда
   $$\sin2x-\frac13\cos x=-3\cos^3 x.$$
   Подставим $\sin2x=2\sin x\cos x$:
   $$2\sin x\cos x-\frac13\cos x=-3\cos^3 x.$$
   Вынесем $\cos x$:
   $$\cos x\left(2\sin x-\frac13+3\cos^2 x\right)=0.$$
   Из области определения $\cos x<0$, значит $\cos x\ne 0$. Делим на $\cos x$: $$2\sin x-\frac13+3\cos^2 x=0.$$ Положим $y=\sin x$, тогда $\cos^2 x=1-y^2$: $$2y-\frac13+3(1-y^2)=0,$$ $$9y^2-6y-8=0.$$ Находим корни: $$D=36+288=324,$$ $$y_1=\frac{6-18}{18}=-\frac23,\qquad y_2=\frac{6+18}{18}=\frac43.$$ Значение $y_2=\frac43$ не подходит. Значит, $$\sin x=-\frac23.$$ С учётом условия $\cos x<0$ получаем $$x=\arcsin\frac23+(2n+1)\pi,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac12\arccos\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$
2) $$x=\arcsin\frac23+(2n+1)\pi,\quad n\in\mathbb Z.$$