Упр.855 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) log2x/2 + log2(21x-2) = 2log21x2-2×8.

Подробный ответ

$$\log_3 3x+\log_3(4x+1)=\log_{4x^2+x}9.$$
Область определения:
$$x>0,\quad 4x+1>0,\quad 4x^2+x>0,\quad 4x^2+x\ne 1.$$
Так как $$\log_3 3=1,$$ то
$$1+\log_3 x+\log_3(4x+1)=\log_{4x^2+x}9.$$
Слева получаем
$$1+\log_3(4x^2+x)=\log_{4x^2+x}9.$$
Пусть $$y=\log_3(4x^2+x).$$ Тогда
$$1+y=\frac{2}{y}.$$
Умножим на $$y$$:
$$y+y^2=2,$$
$$y^2+y-2=0,$$
$$y_1=-2,\quad y_2=1.$$
1) Если $$\log_3(4x^2+x)=-2,$$ то
$$4x^2+x=3^{-2}=\frac19,$$
$$36x^2+9x-1=0,$$
$$D=9^2+4\cdot 36=225,$$
$$x_1=\frac{-9-15}{72}=-\frac13,\quad x_2=\frac{-9+15}{72}=\frac1{12}.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=\frac1{12}.$$
2) Если $$\log_3(4x^2+x)=1,$$ то
$$4x^2+x=3,$$
$$4x^2+x-3=0,$$
$$D=1+48=49,$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac34.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=\frac34.$$
$$\log_2\frac{x}{2}+\log_2(21x-2)=2\log_{21x^2-2x}8.$$
Область определения:
$$x>0,\quad 21x-2>0,\quad 21x^2-2x>0,\quad 21x^2-2x\ne 1.$$
Левая часть:
$$\log_2\frac{x}{2}=\log_2 x-\log_2 2=\log_2 x-1,$$
поэтому
$$\log_2(21x^2-2x)-1=2\log_{21x^2-2x}8.$$
Так как $$\log_2 8=3,$$ то
$$\log_2(21x^2-2x)-1=\frac{6}{\log_2(21x^2-2x)}.$$
Пусть $$y=\log_2(21x^2-2x).$$ Тогда
$$y-1=\frac{6}{y},$$
$$y^2-y-6=0,$$
$$y_1=3,\quad y_2=-2.$$
1) Если $$\log_2(21x^2-2x)=3,$$ то
$$21x^2-2x=8,$$
$$21x^2-2x-8=0,$$
$$D=4+672=676,$$
$$x_1=-\frac47,\quad x_2=\frac23.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=\frac23.$$
2) Если $$\log_2(21x^2-2x)=-2,$$ то
$$21x^2-2x=\frac14,$$
$$84x^2-8x-1=0,$$
$$D=64+336=400,$$
$$x_1=-\frac1{14},\quad x_2=\frac16.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=\frac16.$$