Упр.854 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) (log9(7-x)+1)log3-x 3 =1.

1. $$1+\log_x(5-x)=\log_7 4\cdot \log_x 7$$

   Так как $$1=\log_x x$$, получаем:
   $$\log_x x+\log_x(5-x)=\log_7 4\cdot \log_x 7.$$

   Левая часть:
   $$\log_x\bigl(x(5-x)\bigr).$$

   Правая часть:
   $$\log_7 4\cdot \log_x 7=\log_x 4.$$

   Тогда
   $$\log_x\bigl(x(5-x)\bigr)=\log_x 4,$$
   откуда
   $$x(5-x)=4.$$

   $$5x-x^2=4$$
   $$x^2-5x+4=0$$
   $$\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0.$$

   $$x=1 \text{ или } x=4.$$

   Проверим область определения:
   $$x>0,\quad x\ne 1,\quad 5-x>0.$$
   Значит, $$x=1$$ не подходит, а $$x=4$$ подходит.

2. $$\left(\log_9(7-x)+1\right)\log_{3-x}3=1$$

   Используем формулу $$1=\log_9 9$$:
   $$\log_9(7-x)+1=\log_9(7-x)+\log_9 9=\log_9\bigl(9(7-x)\bigr).$$

   Кроме того,
   $$\log_{3-x}3=\frac{1}{\log_3(3-x)}.$$
   Удобнее преобразовать уравнение к виду:
   $$\frac12\log_3(7-x)+\log_3 3=\frac{1}{\log_{3-x}3}.$$

   Тогда
   $$\log_3(7-x)+2\log_3 3=2\log_3(3-x).$$

   Так как $$2\log_3 3=\log_3 9$$, получаем:
   $$\log_3(7-x)+\log_3 9=\log_3(3-x)^2.$$

   $$\log_3\bigl(9(7-x)\bigr)=\log_3(3-x)^2,$$
   значит
   $$9(7-x)=(3-x)^2.$$

   $$63-9x=9-6x+x^2$$
   $$x^2+3x-54=0$$
   $$\left(x+9\right)\left(x-6\right)=0.$$

   $$x=-9 \text{ или } x=6.$$

   Проверим область определения:
   $$7-x>0,\quad 3-x>0,\quad 3-x\ne 1.$$
   Отсюда $$x<3,\ x\ne 2.$$
   Подходит только $$x=-9$$.

Ответ

1) $$4$$; 2) $$-9$$.