Упр.853 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- $$9\cdot 4^{\frac{1}{x}}+5\cdot 6^{\frac{1}{x}}=4\cdot 9^{\frac{1}{x}}$$
- $$\log_{2}(x^2-3)-\log_{2}(6x-10)+1=0$$
- $$2\log_{2}x-2\log_{2}\frac{1}{\sqrt{2}}=3\sqrt{\log_{2}x}$$
- $$\log_{x}(2x^2-3x-4)=2$$
$$9\cdot 4^{\frac1x}+5\cdot 6^{\frac1x}=4\cdot 9^{\frac1x}.$$
Преобразуем основания:
$$9\cdot 2^{\frac2x}+5\cdot 2^{\frac1x}3^{\frac1x}-4\cdot 3^{\frac2x}=0.$$
Разделим на $$3^{\frac2x}$$ и введём замену $$t=\left(\frac23\right)^{\frac1x}$$, тогда $$t>0$$:
$$9t^2+5t-4=0.$$
$$D=5^2-4\cdot 9\cdot(-4)=25+144=169.$$
$$t_1=\frac{-5-13}{18}=-1,\qquad t_2=\frac{-5+13}{18}=\frac49.$$
Так как $$t>0$$, подходит только $$t=\frac49=\left(\frac23\right)^2.$$
Тогда
$$\frac1x=2,\qquad x=\frac12.$$
$$\log_2(x^2-3)-\log_2(6x-10)+1=0.$$
Перенесём единицу:
$$\log_2(x^2-3)-\log_2(6x-10)=-1.$$
Объединим логарифмы:
$$\log_2\frac{x^2-3}{6x-10}=\log_2\frac12.$$
Значит,
$$\frac{x^2-3}{6x-10}=\frac12.$$
$$2(x^2-3)=6x-10,$$
$$2x^2-6=6x-10,$$
$$2x^2-6x+4=0,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$x_1=1,\qquad x_2=2.$$
Проверим область определения:
$$x^2-3>0,\qquad 6x-10>0.$$
Отсюда $$x>{\sqrt3}$$ и $$x>\frac53$$, значит подходит только $$x=2$$.
$$2\log_2 x-2\log_2\frac1{\sqrt2}=3\sqrt{\log_2 x}.$$
Так как $$\log_2\frac1{\sqrt2}=-\frac12,$$ получаем:
$$2\log_2 x+1=3\sqrt{\log_2 x}.$$
Положим $$t=\sqrt{\log_2 x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$\log_2 x=t^2$$. Получаем:
$$2t^2-3t+1=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1.$$
$$t_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{3+1}{4}=1.$$
1) $$\sqrt{\log_2 x}=\frac12 \Rightarrow \log_2 x=\frac14 \Rightarrow x=2^{1/4}=\sqrt[4]{2}.$$
2) $$\sqrt{\log_2 x}=1 \Rightarrow \log_2 x=1 \Rightarrow x=2.$$
$$\log_x(2x^2-3x-4)=2.$$
По определению логарифма:
$$2x^2-3x-4=x^2.$$
$$x^2-3x-4=0,$$
$$x_1=-1,\qquad x_2=4.$$
С учётом области определения $$x>0,\ x\ne 1$$ подходит только $$x=4$$.
Ответ
1) $$\frac12$$; 2) $$2$$; 3) $$\sqrt[4]{2},\ 2$$; 4) $$4$$.
