Упр.852 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) xlgx = 100x;
3) log2(17-2x) + log2(2x+15)=8;
4) log2(3+2x) + log2(5-2x) =4.

1. $$x^{1+\lg x}=10x$$

   Так как $$x>0$$, возьмём логарифм по основанию $$x$$:

   $$1+\lg x=\log_x 10+\log_x x$$

   $$1+\lg x=\frac{\lg 10}{\lg x}+1$$

   $$\lg x=\frac{1}{\lg x}$$

   $$\lg^2 x=1$$

   $$\lg x=\pm 1$$

   Если $$\lg x=1$$, то $$x=10$$.

   Если $$\lg x=-1$$, то $$x=10^{-1}=0{,}1$$.

2. $$x^{\lg x}=100x$$

   При $$x>0$$ получаем:

   $$\log_x x^{\lg x}=\log_x 100x$$

   $$\lg x=\log_x 100+\log_x x$$

   $$\lg x=\frac{\lg 100}{\lg x}+1$$

   $$\lg x=\frac{2}{\lg x}+1$$

   Пусть $$t=\lg x$$. Тогда

   $$t=\frac{2}{t}+1$$

   $$t^2-t-2=0$$

   $$t_1=-1,\quad t_2=2$$

   Если $$\lg x=-1$$, то $$x=0{,}1$$.

   Если $$\lg x=2$$, то $$x=100$$.

3. $$\log_2(17-2^x)+\log_2(2^x+15)=8$$

   ОДЗ: $$17-2^x>0$$, $$2^x+15>0$$.

   Сложим логарифмы:

   $$\log_2\bigl((17-2^x)(2^x+15)\bigr)=8$$

   $$ (17-2^x)(2^x+15)=2^8=256 $$

   $$17\cdot 2^x+255-2^{2x}-15\cdot 2^x=256$$

   $$2^{2x}-2\cdot 2^x+1=0$$

   $$\left(2^x-1\right)^2=0$$

   $$2^x=1$$

   $$x=0$$

4. $$\log_2(3+2^x)+\log_2(5-2^x)=4$$

   ОДЗ: $$3+2^x>0$$, $$5-2^x>0$$.

   Объединим логарифмы:

   $$\log_2\bigl((3+2^x)(5-2^x)\bigr)=4$$

   $$ (3+2^x)(5-2^x)=2^4=16 $$

   $$15+2^x-2^{2x}=16$$

   $$2^{2x}-2^x+1=0$$

   Пусть $$t=2^x$$, тогда

   $$t^2-t+1=0$$

   $$D=1-4=-3<0$$

   Действительных корней нет.

Ответ

1) $$x=0{,}1,\ 10$$; 2) $$x=0{,}1,\ 100$$; 3) $$x=0$$; 4) решений нет.