Упр.851 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) log1/3 корень x2-2x = -1/2;
3) 1/2 log3(x+1) = log3 корень x+4 — 2log3 корень 2.

1. $$\log_4(2+\sqrt{x+3})=1$$

   $$\log_4(2+\sqrt{x+3})=\log_4 4$$

   $$2+\sqrt{x+3}=4$$

   $$\sqrt{x+3}=2$$

   $$x+3=4$$

   $$x=1$$

   Проверка области определения: $$x+3\ge 0$$, при $$x=1$$ условие выполняется.

2. $$\log_{\frac13}\sqrt{x^2-2x}=-\frac12$$

   $$\log_{\frac13}\sqrt{x^2-2x}=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-\frac12}$$

   $$\sqrt{x^2-2x}=\sqrt3$$

   $$x^2-2x=3$$

   $$x^2-2x-3=0$$

   $$D=4+12=16$$

   $$x_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$

   $$x_1=-1,\quad x_2=3$$

   Проверка ОДЗ: $$x^2-2x>0$$. Оба корня подходят.

3. $$\frac12\log_3(x+1)=\log_3\sqrt{x+4}-2\log_3\sqrt2$$

   $$\log_3\sqrt{x+1}=\log_3\sqrt{x+4}-\log_3(\sqrt2)^2$$

   $$\log_3\sqrt{x+1}=\log_3\frac{\sqrt{x+4}}{2}$$

   $$\sqrt{x+1}=\frac12\sqrt{x+4}$$

   $$2\sqrt{x+1}=\sqrt{x+4}$$

   $$4(x+1)=x+4$$

   $$4x+4=x+4$$

   $$3x=0$$

   $$x=0$$

   Проверка ОДЗ: $$x+1>0$$, $$x+4>0$$, при $$x=0$$ условие выполняется.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=-1,\ 3$$; 3) $$x=0$$.