Упр.85 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) tgx > =3;
2) tgx < 4; 3) tgx < =-4; 4) tgx > -3.

Используем монотонность функции $$\tg x$$ на каждом промежутке вида $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, где $$n\in\mathbb Z$$.

1. $$\tg x \ge 3$$

   На каждом таком промежутке получаем:
   $$\arctg 3+\pi n \le x < \frac{\pi}{2}+\pi n.$$ Пересекаем с отрезком $$[0;3\pi]$$: $$ x\in\left[\arctg 3;\frac{\pi}{2}\right)\cup \left[\pi+\arctg 3;\frac{3\pi}{2}\right)\cup \left[2\pi+\arctg 3;\frac{5\pi}{2}\right). $$

2. $$\tg x < 4$$

   На каждом промежутке:
   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x < \arctg 4+\pi n.$$ Тогда на отрезке $$[0;3\pi]$$: $$ x\in[0;\arctg 4)\cup \left(\frac{\pi}{2};\pi+\arctg 4\right)\cup \left(\frac{3\pi}{2};2\pi+\arctg 4\right)\cup \left(\frac{5\pi}{2};3\pi\right]. $$

3. $$\tg x \le -4$$

   На каждом промежутке:
   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n < x \le -\arctg 4+\pi n.$$ Следовательно, $$ x\in\left(\frac{\pi}{2};\pi-\arctg 4\right]\cup \left(\frac{3\pi}{2};2\pi-\arctg 4\right]\cup \left(\frac{5\pi}{2};3\pi-\arctg 4\right]. $$

4. $$\tg x > -3$$

   На каждом промежутке:
   $$-\arctg 3+\pi n < x < \frac{\pi}{2}+\pi n.$$ Тогда на отрезке $$[0;3\pi]$$: $$ x\in[0;\frac{\pi}{2})\cup \left(\pi-\arctg 3;\frac{3\pi}{2}\right)\cup \left(2\pi-\arctg 3;\frac{5\pi}{2}\right)\cup \left(3\pi-\arctg 3;3\pi\right]. $$

Ответ

1) $$x\in\left[\arctg 3;\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi+\arctg 3;\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left[2\pi+\arctg 3;\frac{5\pi}{2}\right)$$;
2) $$x\in[0;\arctg 4)\cup\left(\frac{\pi}{2};\pi+\arctg 4\right)\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi+\arctg 4\right)\cup\left(\frac{5\pi}{2};3\pi\right]$$;
3) $$x\in\left(\frac{\pi}{2};\pi-\arctg 4\right]\cup\left(\frac{3\pi}{2};2\pi-\arctg 4\right]\cup\left(\frac{5\pi}{2};3\pi-\arctg 4\right]$$;
4) $$x\in[0;\frac{\pi}{2})\cup\left(\pi-\arctg 3;\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(2\pi-\arctg 3;\frac{5\pi}{2}\right)\cup\left(3\pi-\arctg 3;3\pi\right]$$.