Упр.849 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) xlog3x = 9x;
3) xlgx — 1 = 10(1-x-lgx);
4) x корень x = корень xx.

Подробный ответ

$$x^{\lg x}=10$$
Так как $$x^{\lg x}=10$$, то можно прологарифмировать по основанию $$x$$:
$$\lg x=\log_x 10=\frac{\lg 10}{\lg x}=\frac{1}{\lg x}.$$
Тогда
$$\lg^2 x=1,$$
откуда
$$\lg x=1 \quad \text{или} \quad \lg x=-1.$$
Следовательно,
$$x=10 \quad \text{или} \quad x=10^{-1}=0{,}1.$$
$$x^{\log_3 x}=9x$$
Прологарифмируем по основанию $$x$$:
$$\log_3 x=\log_x 9+\log_x x.$$
Так как $$\log_x x=1$$, а $$\log_x 9=\dfrac{\log_3 9}{\log_3 x}=\dfrac{2}{\log_3 x},$$ получаем
$$\log_3 x=\frac{2}{\log_3 x}+1.$$
Обозначим $$y=\log_3 x$$. Тогда
$$y=\frac{2}{y}+1,$$
$$y^2-y-2=0,$$
$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)=0.$$
Отсюда $$y=2$$ или $$y=-1$$.
Тогда
$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9,$$
$$\log_3 x=-1 \Rightarrow x=\frac13.$$
$$x^{\lg x}-1=10\left(1-x^{-\lg x}\right)$$
Положим $$y=x^{\lg x}.$$ Тогда $$x^{-\lg x}=\frac1y$$, и уравнение принимает вид
$$y-1=10\left(1-\frac1y\right).$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-11y+10=0,$$
$$\left(y-1\right)\left(y-10\right)=0.$$
Значит, $$y=1$$ или $$y=10$$.
1) $$x^{\lg x}=1 \Rightarrow \lg x=0 \Rightarrow x=1.$$
2) $$x^{\lg x}=10$$ — это уже решено в пункте 1, поэтому
$$x=0{,}1 \quad \text{или} \quad x=10.$$
$$x^{\sqrt{x}}=\sqrt{x^x}$$
Так как $$\sqrt{x^x}=x^{x/2}$$, то
$$x^{\sqrt{x}}=x^{x/2}.$$
При $$x>0$$ получаем
$$\sqrt{x}=\frac{x}{2}.$$
Тогда
$$2\sqrt{x}=x,$$
$$4x=x^2,$$
$$x^2-4x=0,$$
$$x\left(x-4\right)=0.$$
С учётом области определения $$x>0$$ остаётся
$$x=4.$$