Упр.846 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\lg\left(\frac{1}{2}+x\right)=\log\frac{1}{2}-\lg x$$
2. $$2\lg x=-\lg\frac{1}{6}-x^2$$

1. $$\lg\left(\frac12+x\right)=\lg\frac12-\lg x$$

   Преобразуем правую часть:
   $$\lg\frac12-\lg x=\lg\frac{1}{2x}$$

   Тогда
   $$\lg\left(\frac12+x\right)=\lg\frac{1}{2x}$$
   значит,
   $$\frac12+x=\frac{1}{2x}$$

   Умножим на $$2x$$:
   $$x(1+2x)=1$$
   $$2x^2+x-1=0$$

   $$D=1+8=9$$
   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}$$
   $$x_1=\frac12,\quad x_2=-1$$

   Проверим область допустимых значений:
   $$\frac12+x>0,\quad x>0$$
   значит, подходит только $$x=\frac12$$.

2. $$2\lg x=-\lg\left(\frac16-x^2\right)$$

   Перенесём знак минус:
   $$2\lg x=\lg\left(\frac{1}{\frac16-x^2}\right)$$

   Тогда
   $$\lg x^2=\lg\left(\frac{1}{\frac16-x^2}\right)$$
   откуда
   $$x^2=\frac{1}{\frac16-x^2}$$

   Получаем:
   $$x^2\left(\frac16-x^2\right)=1$$

   Удобнее сразу использовать равенство логарифмов:
   $$\lg x^2=\lg(6-x^2)$$
   значит,
   $$x^2=6-x^2$$
   $$2x^2=6$$
   $$x^2=3$$
   $$x=\pm\sqrt3$$

   Проверим ОДЗ:
   $$x>0,\quad 6-x^2>0$$
   поэтому подходит только $$x=\sqrt3$$.

Ответ

1) $$\frac12$$; 2) $$\sqrt3$$.