Упр.842 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$3^{2x}-3^x=72$$
2. $$4x-2x+1=48$$

1. $$3^{2x}-3^x=72.$$

   Положим $$t=3^x$$, тогда $$t>0$$ и $$3^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-t-72=0.$$

   Разложим на множители:

   $$\left(t-9\right)\left(t+8\right)=0.$$

   Отсюда $$t=9$$ или $$t=-8$$. Так как $$t>0$$, то подходит только $$t=9$$.

   $$3^x=9=3^2,$$ значит, $$x=2.$$

2. $$4^x-2^{x+1}=48.$$

   Представим $$4^x$$ как $$2^{2x}$$:

   $$2^{2x}-2\cdot 2^x-48=0.$$

   Положим $$t=2^x$$, тогда $$t>0$$ и $$2^{2x}=t^2$$. Получаем:

   $$t^2-2t-48=0.$$

   Разложим на множители:

   $$\left(t-8\right)\left(t+6\right)=0.$$

   Отсюда $$t=8$$ или $$t=-6$$. Так как $$t>0$$, то подходит только $$t=8$$.

   $$2^x=8=2^3,$$ значит, $$x=3.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$3$$.