Упр.835 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- $$\sqrt{x^2-6x+9}+\sqrt{25+10x+x^2}=8$$
- $$\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-6x+9}=5$$
- $$\sqrt[3]{(8-x)^2}-\sqrt[3]{(8-x)(27+x)}+\sqrt[3]{(27+x)^2}=7$$
- $$\sqrt[4]{8-x}-\sqrt[4]{89+x}=5$$
$$\sqrt{x^2-6x+9}+\sqrt{25+10x+x^2}=8$$
$$\sqrt{(x-3)^2}+\sqrt{(x+5)^2}=8$$
$$|x-3|+|x+5|=8$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge 3,$$ то
$$x-3+x+5=8,$$
$$2x+2=8,$$
$$x=3.$$Если $$-5\le x\le 3,$$ то
$$3-x+x+5=8,$$
$$8=8,$$
значит, подходят все $$x$$ из этого промежутка.Если $$x\le -5,$$ то
$$3-x-(x+5)=8,$$
$$-2x-2=8,$$
$$x=-5.$$Следовательно,
$$-5\le x\le 3.$$$$\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-6x+9}=5$$
$$\sqrt{(x+2)^2}-\sqrt{(x-3)^2}=5$$
$$|x+2|-|x-3|=5$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge 3,$$ то
$$x+2-(x-3)=5,$$
$$5=5,$$
значит, подходят все $$x\ge 3.$$Если $$-2\le x\le 3,$$ то
$$x+2-(3-x)=5,$$
$$2x-1=5,$$
$$x=3.$$Если $$x\le -2,$$ то
$$-(x+2)-(3-x)=5,$$
$$-5=5,$$
что невозможно.Значит,
$$x\ge 3.$$$$\sqrt[3]{(8-x)^2}-\sqrt[3]{(8-x)(27+x)}+\sqrt[3]{(27+x)^2}=7$$
Пусть
$$a=\sqrt[3]{8-x},\qquad b=\sqrt[3]{27+x}.$$
Тогда
$$a^2-ab+b^2=7,$$
$$a^3+b^3=(8-x)+(27+x)=35.$$Используем формулу:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$Тогда
$$35=(a+b)\cdot 7,$$
$$a+b=5.$$Значит,
$$a=5-b.$$Подставим:
$$(5-b)^2-b(5-b)+b^2=7,$$
$$25-10b+b^2-5b+b^2+b^2=7,$$
$$3b^2-15b+18=0,$$
$$b^2-5b+6=0,$$
$$(b-2)(b-3)=0.$$Отсюда $$b=2$$ или $$b=3.$$
Если $$b=2,$$ то
$$27+x=8,$$
$$x=-19.$$Если $$b=3,$$ то
$$27+x=27,$$
$$x=0.$$$$\sqrt[4]{8-x}-\sqrt[4]{89+x}=5$$
Пусть
$$a=\sqrt[4]{8-x},\qquad b=\sqrt[4]{89+x}.$$
Тогда
$$a-b=5,$$
$$a=5+b.$$Кроме того,
$$a^4+b^4=(8-x)+(89+x)=97.$$Подставим:
$$(5+b)^4+b^4=97.$$
Так как $$b\ge 0,$$ левая часть не меньше
$$5^4=625,$$
значит, равенство невозможно.
Ответ
1) $$-5\le x\le 3$$;
2) $$x\ge 3$$;
3) $$x=-19,\ 0$$;
4) корней нет.
