Упр.834 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt[3]{x^6-26}+2\sqrt[6]{x^6-26}=3$$
2. $$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=0$$

1. Пусть $$y=\sqrt[6]{x^6-26}.$$ Тогда данное уравнение принимает вид

   $$\sqrt[3]{x^6-26}+2\sqrt[6]{x^6-26}=3 \;\Longrightarrow\; y^2+2y-3=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=16,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}, \quad y_1=-3,\; y_2=1.$$

   Так как $$y=\sqrt[6]{x^6-26}\ge 0,$$ то подходит только $$y=1.$$

   Тогда

   $$\sqrt[6]{x^6-26}=1,$$

   $$x^6-26=1,$$

   $$x^6=27,$$

   $$x^2=3,$$

   $$x=\pm\sqrt{3}.$$

2. Рассмотрим функцию

   $$f(x)=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}.$$

   Она строго возрастает на всей области определения, так как каждая из функций $$\sqrt[3]{x},\ \sqrt[3]{x+1},\ \sqrt[3]{x+2}$$ возрастает.

   Проверим значение при $$x=-1$$:

   $$f(-1)=\sqrt[3]{-1}+\sqrt[3]{0}+\sqrt[3]{1}=-1+0+1=0.$$

   Так как функция строго возрастает, то корень уравнения единственный:

   $$x=-1.$$

Ответ

1) $$x=\pm\sqrt{3}$$; 2) $$x=-1$$.