Упр.832 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

832. 1) корень 2x + 7 =х + 2;
2) х = 2- корень 2x-5;
3) корень x4 — 3х-1=х2- 1.

1. $$\sqrt{2x+7}=x+2$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$2x+7=(x+2)^2$$

   $$2x+7=x^2+4x+4$$

   $$x^2+2x-3=0$$

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$$

   $$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$

   $$x_1=-3,\quad x_2=1$$

   Проверим область допустимых значений:

   $$2x+7\ge 0,\quad x+2\ge 0$$

   $$x\ge -\frac{7}{2},\quad x\ge -2$$

   Подходит только $$x=1$$.

2. $$x=2-\sqrt{2x-5}$$

   Перенесём корень:

   $$\sqrt{2x-5}=2-x$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$2x-5=(2-x)^2$$

   $$2x-5=x^2-4x+4$$

   $$x^2-6x+9=0$$

   $$\left(x-3\right)^2=0$$

   $$x=3$$

   Но по ОДЗ должно быть:

   $$2x-5\ge 0,\quad 2-x\ge 0$$

   $$x\ge \frac{5}{2},\quad x\le 2$$

   Таких значений нет, значит корней нет.

3. $$\sqrt{x^4-3x-1}=x^2-1$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x^4-3x-1=(x^2-1)^2$$

   $$x^4-3x-1=x^4-2x^2+1$$

   $$2x^2-3x-2=0$$

   $$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$

   $$x_1=-\frac{1}{2},\quad x_2=2$$

   Проверим ОДЗ:

   $$x^2-1\ge 0$$

   $$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\ge 0$$

   $$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 1$$

   Из найденных корней подходит только $$x=2$$.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) корней нет; 3) $$x=2$$.