Упр.831 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 831. Найти все пары целых чисел, сумма которых равна их произведению.

Пусть $$a$$ и $$b$$ — целые числа, причём их сумма равна произведению:

$$a+b=ab.$$

Перенесём слагаемые:

$$ab-a=b,$$

$$a(b-1)=b.$$

Тогда

$$a=\frac{b}{b-1}.$$

Так как $$a$$ — целое число, то дробь $$\frac{b}{b-1}$$ должна быть целой. Заметим, что

$$\frac{b}{b-1}=1+\frac{1}{b-1}.$$

Значит, число $$b-1$$ должно делить $$1$$. Поэтому возможны только два случая:

$$b-1=1 \quad \text{или} \quad b-1=-1.$$

1) Если $$b-1=1,$$ то $$b=2,$$ и

$$a=\frac{2}{2-1}=2.$$

2) Если $$b-1=-1,$$ то $$b=0,$$ и

$$a=\frac{0}{0-1}=0.$$

Проверим:

$$0+0=0\cdot 0,$$

$$2+2=2\cdot 2.$$

Ответ

$$(0;0),\ (2;2).$$