Упр.830 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Решить в целых числах уравнение: 1) $$2x^2y^2-14y^2=25-x^2$$; 2) $$3x^2-8xy-16y^2=19$$.

1. $$2x^2y^2-14y^2=25-x^2$$

   Вынесем $$y^2$$ за скобки:

   $$y^2(2x^2-14)=25-x^2,$$

   $$y^2=\frac{25-x^2}{2x^2-14}.$$

   Чтобы $$y$$ был действительным, нужно:

   $$\frac{25-x^2}{2x^2-14}\ge 0.$$

   Решаем неравенство:

   $$\frac{(5-x)(5+x)}{2(x^2-7)}\ge 0,$$

   откуда

   $$x\in[-5;-\sqrt7)\cup(\sqrt7;5].$$

   Так как $$x$$ — целое число, получаем:

   $$x=-5,-4,-3,3,4,5.$$

   Проверим значения:

   при $$x=\pm 5$$ имеем $$y=0;$$

   при $$x=\pm 4$$:

   $$y^2=\frac{25-16}{32-14}=\frac{9}{18}=\frac12,$$

   целых значений $$y$$ нет;

   при $$x=\pm 3$$:

   $$y^2=\frac{25-9}{18-14}=\frac{16}{4}=4,$$

   $$y=\pm 2.$$

   Значит, решения:

   $$(-5;0),\;(-3;-2),\;(-3;2),\;(3;-2),\;(3;2),\;(5;0).$$

2. $$3x^2-8xy-16y^2=19$$

   Разложим левую часть на множители:

   $$3x^2-8xy-16y^2=(3x+4y)(x-4y).$$

   Тогда

   $$(3x+4y)(x-4y)=19.$$

   Так как $$x$$ и $$y$$ — целые числа, то оба множителя — целые делители числа $$19$$:

   $$3x+4y=1,\quad x-4y=19$$

   или

   $$3x+4y=19,\quad x-4y=1,$$

   а также с отрицательными значениями:

   $$3x+4y=-1,\quad x-4y=-19,$$

   $$3x+4y=-19,\quad x-4y=-1.$$

   Решим системы:

   1) $$\begin{cases}3x+4y=1\\x-4y=19\end{cases}$$

   Складываем уравнения: $$4x=20,$$ значит $$x=5.$$ Тогда $$5-4y=19,$$ откуда $$y=-\frac{14}{4},$$ не подходит.

   2) $$\begin{cases}3x+4y=19\\x-4y=1\end{cases}$$

   Складываем: $$4x=20,$$ значит $$x=5.$$ Тогда $$5-4y=1,$$ откуда $$y=1.$$

   3) $$\begin{cases}3x+4y=-1\\x-4y=-19\end{cases}$$

   Складываем: $$4x=-20,$$ значит $$x=-5.$$ Тогда $$-5-4y=-19,$$ откуда $$y=\frac{14}{4},$$ не подходит.

   4) $$\begin{cases}3x+4y=-19\\x-4y=-1\end{cases}$$

   Складываем: $$4x=-20,$$ значит $$x=-5.$$ Тогда $$-5-4y=-1,$$ откуда $$y=-1.$$

   Получаем целые решения:

   $$(-5;-1),\;(5;1).$$

Ответ

1) $$(-5;0),\;(-3;-2),\;(-3;2),\;(3;-2),\;(3;2),\;(5;0).$$

2) $$(-5;-1),\;(5;1).$$