Упр.830 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) 2х2у2 — 14у2 = 25 — х2;
2) 3х2 — 8ху — 16у2 = 19.

Подробный ответ

$$2x^2y^2-14y^2=25-x^2$$
Вынесем $y^2$ за скобки:
$$y^2(2x^2-14)=25-x^2,$$
$$y^2=\frac{25-x^2}{2x^2-14}.$$
Чтобы $y$ был действительным, нужно:
$$\frac{25-x^2}{2x^2-14}\ge 0.$$
Решаем неравенство:
$$\frac{(5-x)(5+x)}{2(x^2-7)}\ge 0,$$
откуда
$$x\in[-5;-\sqrt7)\cup(\sqrt7;5].$$
Так как $x$ — целое число, получаем:
$$x=-5,-4,-3,3,4,5.$$
Проверим значения:
при $$x=\pm 5$$ имеем $$y=0;$$
при $$x=\pm 4$$:
$$y^2=\frac{25-16}{32-14}=\frac{9}{18}=\frac12,$$
целых значений $y$ нет;
при $$x=\pm 3$$:
$$y^2=\frac{25-9}{18-14}=\frac{16}{4}=4,$$
$$y=\pm 2.$$
Значит, решения:
$$(-5;0),\;(-3;-2),\;(-3;2),\;(3;-2),\;(3;2),\;(5;0).$$
$$3x^2-8xy-16y^2=19$$
Разложим левую часть на множители:
$$3x^2-8xy-16y^2=(3x+4y)(x-4y).$$
Тогда
$$ (3x+4y)(x-4y)=19.$$
Так как $x$ и $y$ — целые числа, то оба множителя — целые делители числа $19$:
$$3x+4y=1,\quad x-4y=19$$
или
$$3x+4y=19,\quad x-4y=1,$$
а также с отрицательными значениями:
$$3x+4y=-1,\quad x-4y=-19,$$
$$3x+4y=-19,\quad x-4y=-1.$$
Решим системы:
1) $$\begin{cases}3x+4y=1\\x-4y=19\end{cases}$$
Складываем уравнения: $$4x=20,$$ значит $$x=5.$$ Тогда $$5-4y=19,$$ откуда $$y=-\frac{14}{4},$$ не подходит.
2) $$\begin{cases}3x+4y=19\\x-4y=1\end{cases}$$
Складываем: $$4x=20,$$ значит $$x=5.$$ Тогда $$5-4y=1,$$ откуда $$y=1.$$
3) $$\begin{cases}3x+4y=-1\\x-4y=-19\end{cases}$$
Складываем: $$4x=-20,$$ значит $$x=-5.$$ Тогда $$-5-4y=-19,$$ откуда $$y=\frac{14}{4},$$ не подходит.
4) $$\begin{cases}3x+4y=-19\\x-4y=-1\end{cases}$$
Складываем: $$4x=-20,$$ значит $$x=-5.$$ Тогда $$-5-4y=-1,$$ откуда $$y=-1.$$
Получаем целые решения:
$$(-5;-1),\;(5;1).$$