Упр.83 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство:
   1) $$\cot x<1$$;
   2) $$\tan x\geq\sqrt{3}$$;
   3) $$\tan x\leq-\frac{\sqrt{3}}{3}$$;
   4) $$\tan x>-1$$.

1. $$\ctg x<1$$

   На промежутке $$\left(0;\pi\right)$$ функция $$\ctg x$$ убывает, поэтому

   $$\ctg x<1 \iff \frac{\pi}{4}+ \pi n<x<\pi+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\tg x\ge \sqrt{3}$$

   Функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке своей области определения, значит

   $$\tg x\ge \sqrt{3} \iff \frac{\pi}{3}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg x\le -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

   Так как $$\tg\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{3},$$ то

   $$\tg x\le -\frac{\sqrt{3}}{3} \iff -\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le -\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\tg x>-1$$

   Так как $$\tg\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$ получаем

   $$\tg x>-1 \iff -\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\pi+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
2) $$\frac{\pi}{3}+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
3) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le -\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
4) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.