Упр.829 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 829 Найти все целые числа, равные сумме квадратов своих цифр.

Пусть число записывается цифрами $$a_n a_{n-1}\dots a_1 a_0,$$ где $$a_0$$ — последняя цифра, а $$a_n \ne 0.$$ Тогда само число равно

$$a_0+a_1\cdot 10+a_2\cdot 100+\dots+a_n\cdot 10^n,$$

а сумма квадратов его цифр равна

$$a_0^2+a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2.$$

По условию эти величины равны, значит

$$a_0+a_1\cdot 10+a_2\cdot 100+\dots+a_n\cdot 10^n=a_0^2+a_1^2+a_2^2+\dots+a_n^2.$$

Если число содержит более одной цифры, то левая часть не меньше $$10$$, а правая — сумма квадратов цифр. Но для любой цифры $$a_k$$ верно $$a_k^2 \le 9a_k$$, поэтому сумма квадратов цифр меньше соответствующего числа, если в записи есть хотя бы две ненулевые цифры. Значит, подходит только однозначное число.

Тогда нужно решить уравнение

$$a_0=a_0^2.$$

Получаем

$$a_0^2-a_0=0,$$

$$a_0(a_0-1)=0.$$

Следовательно,

$$a_0=0 \quad \text{или} \quad a_0=1.$$

Ответ

$$0,\ 1.$$