Упр.828 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

$$z^2-25i=0$$
$$z^2=-8+6i$$
$$z^3+8=0$$
$$z^4-1=0$$

Подробный ответ

$$z^2-25i=0$$
Пусть $$z=x+yi$$, тогда
$$(x+yi)^2=25i$$
$$x^2-y^2+2xyi=25i$$
Сравниваем действительную и мнимую части:
$$\begin{cases} x^2-y^2=0,\\ 2xy=25. \end{cases}$$
Из $$x^2=y^2$$ получаем $$y=\pm x$$. Тогда из $$2xy=25$$ имеем $$x$ и$$y$$одного знака, значит
$$
x=y=\pm \frac{5\sqrt2}{2}.
$$
Следовательно,
$$
z=\pm\left(\frac{5\sqrt2}{2}+\frac{5\sqrt2}{2}i\right).
$$
$$z^2=-8+6i$$
Пусть$$z=x+yi$$. Тогда
$$
(x+yi)^2=-8+6i
$$
$$
x^2-y^2+2xyi=-8+6i
$$
Получаем систему:
$$
\begin{cases}
x^2-y^2=-8,\\
2xy=6.
\end{cases}
$$
Из второго уравнения$$xy=3$$, значит$$y=\dfrac{3}{x}$$. Подставим в первое:
$$
x^2-\frac{9}{x^2}=-8
$$
$$
x^4+8x^2-9=0
$$
Положим$$t=x^2$$. Тогда
$$
t^2+8t-9=0
$$
$$
D=8^2+4\cdot 9=100
$$
$$
t=\frac{-8\pm 10}{2}
$$
Отсюда$$t_1=1$$,$$t_2=-9$$, но$$x^2\ge 0$$, значит$$x^2=1$$и$$x=\pm 1$$. Тогда
$$
y=\frac{3}{x}=\pm 3.
$$
Следовательно,
$$
z=\pm(1+3i).
$$
$$z^3+8=0$$
Разложим на множители:
$$
z^3+8=(z+2)(z^2-2z+4)=0
$$
Отсюда либо$$z=-2$$, либо
$$
z^2-2z+4=0.
$$
Для квадратного уравнения:
$$
D=(-2)^2-4\cdot 4=4-16=-12
$$
$$
z=\frac{2\pm \sqrt{-12}}{2}=1\pm i\sqrt3.
$$
Итак,
$$
z=-2,\; 1\pm i\sqrt3.
$$
$$z^4-1=0$$
Разложим на множители:
$$
(z^2-1)(z^2+1)=0
$$
Тогда
$$
z^2=1 \quad \text{или} \quad z^2=-1.
$$
Отсюда
$$
z=\pm 1 \quad \text{или} \quad z=\pm i.
$$