Упр.826 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$|z|+iz=2-i$$
2. $$|z|-iz=3+2i$$

Пусть $$z=x+yi,$$ где $$x,y \in \mathbb{R}.$$ Тогда $$|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

1. $$|z|+iz=2-i$$

   Подставим $$z=x+yi$$:

   $$\sqrt{x^2+y^2}+i(x+yi)=2-i,$$

   $$\sqrt{x^2+y^2}-y+xi=2-i.$$

   Сравним действительные и мнимые части:

   $$x=-1,$$

   $$\sqrt{x^2+y^2}-y=2.$$

   Подставим $$x=-1$$:

   $$\sqrt{1+y^2}=y+2.$$

   Возведём в квадрат:

   $$1+y^2=y^2+4y+4,$$

   $$4y=-3,$$

   $$y=-\frac{3}{4}.$$

   Следовательно,

   $$z=-1-\frac{3}{4}i.$$

2. $$|z|-iz=3+2i$$

   Подставим $$z=x+yi$$:

   $$\sqrt{x^2+y^2}-i(x+yi)=3+2i,$$

   $$\sqrt{x^2+y^2}+y-xi=3+2i.$$

   Сравним действительные и мнимые части:

   $$-x=2,$$

   $$\sqrt{x^2+y^2}+y=3.$$

   Отсюда $$x=-2.$$ Тогда

   $$\sqrt{4+y^2}=3-y.$$

   Возведём в квадрат:

   $$4+y^2=9-6y+y^2,$$

   $$6y=5,$$

   $$y=\frac{5}{6}.$$

   Следовательно,

   $$z=-2+\frac{5}{6}i.$$

Ответ

1) $$z=-1-\frac{3}{4}i$$; 2) $$z=-2+\frac{5}{6}i$$.