Упр.823 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 823 Могут ли корни уравнения (х — m)(х — n) = k2 быть чисто мнимыми, если m, n и k — действительные числа? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 823 118

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$ (x-m)(x-n)=k^2. $$

Раскроем скобки и приведём к квадратному уравнению:

$$ x^2-(m+n)x+(mn-k^2)=0. $$

Его дискриминант равен

$$ D=(m+n)^2-4(mn-k^2). $$

Упростим:

$$ D=m^2+2mn+n^2-4mn+4k^2=(m-n)^2+4k^2. $$

Так как $$ (m-n)^2 \ge 0 $$ и $$ 4k^2 \ge 0 $$, то

$$ D \ge 0. $$

Значит, уравнение имеет только действительные корни или кратный действительный корень. Чисто мнимых корней быть не может.