Упр.823 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Могут ли корни уравнения $$(x-m)(x-n)=k^2$$ быть чисто мнимыми, если $$m$$, $$n$$ и $$k$$ — действительные числа?

Рассмотрим уравнение

$$(x-m)(x-n)=k^2.$$

Раскроем скобки и приведём к квадратному уравнению:

$$x^2-(m+n)x+(mn-k^2)=0.$$

Его дискриминант равен

$$D=(m+n)^2-4(mn-k^2).$$

Упростим:

$$D=m^2+2mn+n^2-4mn+4k^2=(m-n)^2+4k^2.$$

Так как $$(m-n)^2 \ge 0$$ и $$4k^2 \ge 0$$, то

$$D \ge 0.$$

Значит, уравнение имеет только действительные корни или кратный действительный корень. Чисто мнимых корней быть не может.

Ответ

Нет, не могут.