Упр.822 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 822 Уравнение 2×3 + mx2 + nх+12 = 0 имеет корни х1 = 1, х2 = -2. Найти третий корень этого уравнения.

Подставим данные корни $$x_1=1$$ и $$x_2=-2$$ в уравнение $$2x^3+mx^2+nx+12=0$$.

Для $$x=1$$ получаем:

$$2\cdot 1^3+m\cdot 1^2+n\cdot 1+12=0,$$

$$m+n=-14.$$

Для $$x=-2$$ получаем:

$$2\cdot(-2)^3+m\cdot(-2)^2+n\cdot(-2)+12=0,$$

$$-16+4m-2n+12=0,$$

$$2m-n=2.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} m+n=-14,\\ 2m-n=2. \end{cases} $$

Сложим уравнения:

$$3m=-12,$$

$$m=-4.$$

Тогда

$$n=-14-m=-14-(-4)=-10.$$

Подставим найденные значения в уравнение:

$$2x^3-4x^2-10x+12=0.$$

Разделим на $$2$$:

$$x^3-2x^2-5x+6=0.$$

Так как $$x=1$$ и $$x=-2$$ — корни, разложим на множители:

$$x^3-2x^2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3).$$

Следовательно, третий корень:

$$x=3.$$

Ответ

$$3$$