Упр.820 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{1}{x(x+2)}-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{1}{12}$$
2. $$(2x-3x)+(4x^2+\frac{9}{x^2})=42$$

1. $$\frac{1}{x(x+2)}-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{1}{12}.$$

   Положим $$y=x^2+2x.$$ Тогда $$x(x+2)=y$$, а $$x^2+2x+1=y+1$$. Получаем:

   $$\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}=\frac{1}{12}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{(y+1)-y}{y(y+1)}=\frac{1}{12}$$

   $$\frac{1}{y(y+1)}=\frac{1}{12}$$

   $$y(y+1)=12$$

   $$y^2+y-12=0.$$

   $$D=1+48=49,$$

   $$y_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{-1+7}{2}=3.$$

   1) Если $$x^2+2x=-4,$$ то

   $$x^2+2x+4=0,$$

   $$D=4-16=-12<0,$$

   действительных корней нет.

   2) Если $$x^2+2x=3,$$ то

   $$x^2+2x-3=0,$$

   $$D=4+12=16,$$

   $$x=\frac{-2\pm4}{2}.$$

   Отсюда $$x=-3$$ или $$x=1.$$

2. $$\left(2x-\frac{3}{x}\right)+\left(4x^2+\frac{9}{x^2}\right)=42.$$

   Положим $$y=2x-\frac{3}{x}.$$ Тогда

   $$y^2=4x^2-12+\frac{9}{x^2},$$

   значит

   $$4x^2+\frac{9}{x^2}=y^2+12.$$

   Подставим в уравнение:

   $$y+(y^2+12)=42,$$

   $$y^2+y-30=0.$$

   $$D=1+120=121,$$

   $$y_1=\frac{-1-11}{2}=-6,\qquad y_2=\frac{-1+11}{2}=5.$$

   1) Если $$2x-\frac{3}{x}=-6,$$ то

   $$2x^2+6x-3=0,$$

   $$D=36+24=60,$$

   $$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{4}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}.$$

   2) Если $$2x-\frac{3}{x}=5,$$ то

   $$2x^2-5x-3=0,$$

   $$D=25+24=49,$$

   $$x=\frac{5\pm7}{4}.$$

   Отсюда $$x=3$$ или $$x=-\frac{1}{2}.$$

Ответ

1) $$-3,\ 1$$; 2) $$-\frac{3-\sqrt{15}}{2},\ -\frac{3+\sqrt{15}}{2},\ -\frac{1}{2},\ 3$$.