Упр.82 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Построив график функции $$y=f(x)$$, найти: а) область определения; б) множество значений; в) промежутки возрастания:

1. $$f(x)=\begin{cases}\tan x, & \text{если } \pi\le x<\frac{3\pi}{2},\\ \sin x, & \text{если }-\pi\le x<\pi;\end{cases}$$
2. $$f(x)=\begin{cases}\cot x, & \text{если }\pi

1. 1) $$f(x)=\begin{cases}\tg x, & \pi \le x<\dfrac{3\pi}{2},\\ \sin x, & -\pi \le x<\pi.\end{cases}$$

   На отрезке $$[-\pi;\pi)$$ задана функция $$\sin x$$, а на промежутке $$[\pi;\dfrac{3\pi}{2})$$ — функция $$\tg x$$.

   Тогда область определения:

   $$D(f)=[-\pi;\dfrac{3\pi}{2}).$$

   Множество значений: у функции $$\sin x$$ значения лежат в промежутке $$[-1;1]$$, а у $$\tg x$$ на $$[\pi;\dfrac{3\pi}{2})$$ значения принимают все числа от $$0$$ до $$+\infty$$. Значит,

   $$E(f)=[-1;+\infty).$$

   Промежутки возрастания: $$\sin x$$ возрастает на $$\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$$, а $$\tg x$$ возрастает на всём своём промежутке определения. Поэтому

   $$\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\cup\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right).$$

2. 2) $$f(x)=\begin{cases}\ctg x, & -\pi<x<-\dfrac{\pi}{2},\\ \cos x, & -\dfrac{\pi}{2}\le x<\dfrac{3\pi}{2},\\ \ctg x, & \dfrac{3\pi}{2}\le x<2\pi.\end{cases}$$

   Область определения:

   $$D(f)=(-\pi;2\pi).$$

   Множество значений: функция $$\cos x$$ принимает все значения от $$-1$$ до $$1$$, а функция $$\ctg x$$ на указанных промежутках принимает все действительные значения. Следовательно,

   $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$

   Промежутки возрастания: $$\ctg x$$ убывает, а $$\cos x$$ возрастает на $$\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$$ и убывает на $$\left[0;\dfrac{3\pi}{2}\right)$$. Значит, функция возрастает на

   $$\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]\cup\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right].$$

Ответ

1) $$D(f)=[-\pi;\dfrac{3\pi}{2}),\quad E(f)=[-1;+\infty),\quad \text{возрастает на } \left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\cup\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right).$$

2) $$D(f)=(-\pi;2\pi),\quad E(f)=(-\infty;+\infty),\quad \text{возрастает на } \left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]\cup\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right].$$