Упр.819 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{x^2-x+3}{x^2-x+1}+\frac{x^2-x-4}{x^2-x+2}=5$$
2. $$\frac{x^2+x+2}{x^2+x+1}+\frac{x^2+x+6}{x^2+x+3}=4$$

1. Положим $$y=x^2-x.$$ Тогда уравнение примет вид

   $$\frac{y+3}{y+1}+\frac{y+4}{y+2}=5.$$

   Умножим на $$(y+1)(y+2)$$:

   $$(y+3)(y+2)+(y+4)(y+1)=5(y+1)(y+2)$$
   $$y^2+5y+6+y^2+5y+4=5y^2+15y+10$$
   $$3y^2+5y=0$$
   $$y(3y+5)=0.$$

   Отсюда $$y=0$$ или $$y=-\frac{5}{3}.$$

   1) Если $$x^2-x=0,$$ то

   $$x(x-1)=0,$$

   $$x=0 \text{ или } x=1.$$

   2) Если $$x^2-x=-\frac{5}{3},$$ то

   $$x^2-x+\frac{5}{3}=0,$$

   $$3x^2-3x+5=0,$$

   $$D= (-3)^2-4\cdot 3\cdot 5=9-60=-51<0.$$

   Действительных корней нет.

2. Положим $$y=x^2+x.$$ Тогда уравнение примет вид

   $$\frac{y+2}{y+1}+\frac{y+6}{y+3}=4.$$

   Умножим на $$(y+1)(y+3)$$:

   $$(y+2)(y+3)+(y+6)(y+1)=4(y+1)(y+3)$$
   $$y^2+5y+6+y^2+7y+6=4y^2+16y+12$$
   $$2y^2+4y=0$$
   $$2y(y+2)=0.$$

   Отсюда $$y=0$$ или $$y=-2.$$

   1) Если $$x^2+x=0,$$ то

   $$x(x+1)=0,$$

   $$x=-1 \text{ или } x=0.$$

   2) Если $$x^2+x=-2,$$ то

   $$x^2+x+2=0,$$

   $$D=1-8=-7<0.$$

   Действительных корней нет.

Ответ

1) $$0,\ 1$$; 2) $$-1,\ 0$$.