Упр.818 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) 4(х2 -4х+ 1)2 + 10(х — 2)2 = 13(x2 — 4х +1)(х — 2).

1. Пусть $$a=x^2-x-2,$$ $$b=x+3.$$ Тогда уравнение принимает вид

   $$a^2+ab=20b^2.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$a^2+ab-20b^2=0.$$

   Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$a$$:

   $$a^2+ba-20b^2=0.$$

   Тогда

   $$D=b^2+80b^2=81b^2,$$

   и

   $$a_{1,2}=\frac{-b\pm 9b}{2}.$$

   Получаем два случая:

   $$a=-5b \quad \text{или} \quad a=4b.$$

   1) $$x^2-x-2=-5(x+3),$$

   $$x^2+4x+13=0.$$

   $$D=4^2-4\cdot 13=-36<0,$$

   значит, действительных корней нет.

   2) $$x^2-x-2=4(x+3),$$

   $$x^2-5x-14=0.$$

   $$D=25+56=81,$$

   $$x=\frac{5\pm 9}{2}.$$

   Отсюда

   $$x=-2,\; 7.$$

2. Пусть $$a=x^2-4x+1,$$ $$b=x-2.$$ Тогда

   $$4a^2+10b^2=13ab.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$4a^2-13ab+10b^2=0.$$

   Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$a$$:

   $$4a^2-13ba+10b^2=0.$$

   Тогда

   $$D=(13b)^2-4\cdot 4\cdot 10b^2=9b^2,$$

   и

   $$a_{1,2}=\frac{13b\pm 3b}{8}.$$

   Получаем два случая:

   $$a=\frac{5b}{4} \quad \text{или} \quad a=2b.$$

   1) $$x^2-4x+1=\frac{5(x-2)}{4},$$

   $$4x^2-16x+4=5x-10,$$

   $$4x^2-21x+14=0.$$

   $$D=21^2-4\cdot 4\cdot 14=217,$$

   $$x=\frac{21\pm \sqrt{217}}{8}.$$

   2) $$x^2-4x+1=2(x-2),$$

   $$x^2-6x+5=0,$$

   $$D=36-20=16,$$

   $$x=\frac{6\pm 4}{2}.$$

   Отсюда

   $$x=1,\; 5.$$

Ответ

1) $$-2,\; 7.$$ 2) $$1,\; 5,\; \frac{21-\sqrt{217}}{8},\; \frac{21+\sqrt{217}}{8}.$$