Упр.817 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) (х2 — 3х + 2)(х2 — 7х + 12) = 4.

1. $$\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2+9x+18\right)=100$$

   Разложим на множители:
   $$x^2-5x+4=(x-1)(x-4), \quad x^2+9x+18=(x+3)(x+6).$$

   Тогда
   $$\left(x-1\right)\left(x-4\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)=100.$$

   Сгруппируем:
   $$\left(x^2+2x-3\right)\left(x^2+2x-24\right)=100.$$

   Пусть $$y=x^2+2x-3$$, тогда $$x^2+2x-24=y-21$$. Получаем:
   $$y(y-21)=100,$$
   $$y^2-21y-100=0.$$

   $$D=21^2+4\cdot100=841,$$
   $$y_{1,2}=\frac{21\pm29}{2}.$$

   Значит,
   $$y_1=-4,\quad y_2=25.$$

   1) $$x^2+2x-3=-4,$$
   $$x^2+2x+1=0,$$
   $$\left(x+1\right)^2=0,$$
   $$x=-1.$$

   2) $$x^2+2x-3=25,$$
   $$x^2+2x-28=0,$$
   $$D=2^2-4\cdot1\cdot(-28)=116,$$
   $$x=\frac{-2\pm\sqrt{116}}{2}=-1\pm\sqrt{29}.$$

2. $$\left(x^2-3x+2\right)\left(x^2-7x+12\right)=4$$

   Разложим на множители:
   $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2), \quad x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

   Тогда
   $$\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)=4.$$

   Сгруппируем:
   $$\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)=4.$$

   Пусть $$y=x^2-5x+4$$, тогда $$x^2-5x+6=y+2$$. Получаем:
   $$y(y+2)=4,$$
   $$y^2+2y-4=0.$$

   $$D=2^2+16=20,$$
   $$y=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2}=-1\pm\sqrt5.$$

   1) $$x^2-5x+4=-1+\sqrt5,$$
   $$x^2-5x+\left(5-\sqrt5\right)=0,$$
   $$D=25-4\left(5-\sqrt5\right)=5+4\sqrt5,$$
   $$x=\frac{5\pm\sqrt{5+4\sqrt5}}{2}.$$

   2) $$x^2-5x+4=-1-\sqrt5,$$
   $$x^2-5x+\left(5+\sqrt5\right)=0,$$
   $$D=25-4\left(5+\sqrt5\right)=5-4\sqrt5<0,$$ действительных корней нет.

Ответ

1) $$x=-1,\,-1\pm\sqrt{29}.$$
2) $$x=\frac{5\pm\sqrt{5+4\sqrt5}}{2}.$$