Упр.816 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$(x-1)(x-3)(x+2)(x+6)=72x^2$$
2. $$(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)=36x^2$$

1. $$(x-1)(x-3)(x+2)(x+6)=72x^2$$

   Сгруппируем множители:
   $$(x^2+6x-x-6)(x^2+2x-3x-6)=72x^2$$
   $$(x^2+5x-6)(x^2-x-6)=72x^2$$

   Представим выражения в виде разности квадратов:
   $$(x^2+2x-6+3x)(x^2+2x-6-3x)=72x^2$$
   $$(x^2+2x-6)^2-9x^2=72x^2$$
   $$(x^2+2x-6)^2-81x^2=0$$
   $$\bigl(x^2+2x-6-9x\bigr)\bigl(x^2+2x-6+9x\bigr)=0$$
   $$(x^2-7x-6)(x^2+11x-6)=0$$

   Тогда:
   $$x^2-7x-6=0 \quad \text{или} \quad x^2+11x-6=0$$

   1) $$D=7^2+4\cdot 6=73, \qquad x=\frac{7\pm \sqrt{73}}{2}$$

   2) $$D=11^2+4\cdot 6=145, \qquad x=\frac{-11\pm \sqrt{145}}{2}$$

2. $$(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)=36x^2$$

   Сгруппируем множители:
   $$(x^2-6x+6-x)(x^2-6x+6+x)=36x^2$$
   $$(x^2-7x+6)(x^2-5x+6)=36x^2$$

   Обозначим:
   $$t=x^2-6x+6$$
   Тогда
   $$(t-x)(t+x)=36x^2$$
   $$t^2-x^2=36x^2$$
   $$t^2-37x^2=0$$
   $$(t-\sqrt{37}\,x)(t+\sqrt{37}\,x)=0$$

   Возвращаемся к замене:
   $$x^2-6x+6-\sqrt{37}\,x=0$$
   $$x^2-(6+\sqrt{37})x+6=0$$
   или
   $$x^2-6x+6+\sqrt{37}\,x=0$$
   $$x^2-(6-\sqrt{37})x+6=0$$

   Для первого уравнения:
   $$D=(6+\sqrt{37})^2-24=49+12\sqrt{37}$$
   $$x=\frac{6+\sqrt{37}\pm \sqrt{49+12\sqrt{37}}}{2}$$

   Для второго уравнения:
   $$D=(6-\sqrt{37})^2-24=49-12\sqrt{37}$$
   $$x=\frac{6-\sqrt{37}\pm \sqrt{49-12\sqrt{37}}}{2}$$

Ответ

1) $$x=\frac{7\pm \sqrt{73}}{2}, \ \frac{-11\pm \sqrt{145}}{2}$$
2) $$x=\frac{6+\sqrt{37}\pm \sqrt{49+12\sqrt{37}}}{2}, \ \frac{6-\sqrt{37}\pm \sqrt{49-12\sqrt{37}}}{2}$$