Упр.814 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

814. 1) х3 — 3х2 + х =3;
2) х3 — 3х2 — 4х + 12 = 0;
3) х3 — 5х2 + 8х — 6 = 0;
4) х4 — 3х3 — 2х2 — 6х — 8 = 0;
5) х5 + х4 — 6х3 — 14х2 — 11х — 3 = 0;
6) 2х4 — 2х3 — 11х2 — х — 6 = 0.

Подробный ответ

$$x^3-3x^2+x=3$$
$$x^3-3x^2+x-3=0$$
$$x^2(x-3)+(x-3)=0$$
$$\left(x^2+1\right)(x-3)=0$$
Так как $$x^2+1\neq 0$$ при любых действительных $$x$$, то
$$x-3=0,\quad x=3.$$
$$x^3-3x^2-4x+12=0$$
$$x^2(x-3)-4(x-3)=0$$
$$\left(x^2-4\right)(x-3)=0$$
$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)(x-3)=0$$
Отсюда
$$x=-2,\quad x=2,\quad x=3.$$
$$x^3-5x^2+8x-6=0$$
Подбором находим корень $$x=3$$:
$$3^3-5\cdot 3^2+8\cdot 3-6=27-45+24-6=0.$$
Значит,
$$x^3-5x^2+8x-6=(x-3)(x^2-2x+2).$$
Рассмотрим квадратный множитель:
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0.$$
Действительных корней у него нет, поэтому
$$x=3.$$
$$x^4-3x^3-2x^2-6x-8=0$$
Группируем слагаемые:
$$x^4-3x^3-2x^2-6x-8=(x+1)(x^3-4x^2+2x-8).$$
Далее
$$x^3-4x^2+2x-8=x^2(x-4)+2(x-4)=(x-4)(x^2+2).$$
Тогда
$$\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x^2+2\right)=0.$$
Так как $$x^2+2\neq 0$$ при любых действительных $$x$$, получаем
$$x=-1,\quad x=4.$$
$$x^5+x^4-6x^3-14x^2-11x-3=0$$
Проверяем корень $$x=3$$:
$$3^5+3^4-6\cdot 3^3-14\cdot 3^2-11\cdot 3-3=243+81-162-126-33-3=0.$$
Значит,
$$x^5+x^4-6x^3-14x^2-11x-3=(x-3)(x+1)^4.$$
Отсюда
$$x-3=0 \quad \text{или} \quad x+1=0.$$
Следовательно,
$$x=3,\quad x=-1.$$
$$2x^4-2x^3-11x^2-x-6=0$$
Разложим на множители:
$$2x^4-2x^3-11x^2-x-6=(x+2)(2x^3-6x^2+x-3).$$
Далее
$$2x^3-6x^2+x-3=2x^2(x-3)+(x-3)=(x-3)(2x^2+1).$$
Тогда
$$\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(2x^2+1\right)=0.$$
Так как $$2x^2+1\neq 0$$ при любых действительных $$x$$, получаем
$$x=-2,\quad x=3.$$