Упр.814 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

814. Найти действительные корни уравнения:
     
     1) $$x^3-3x^2+x=3$$;
     
     2) $$x^3-3x^2-4x+12=0$$;
     
     3) $$x^3-5x^2+8x-6=0$$;
     
     4) $$x^4-3x^3-2x^2-6x-8=0$$;
     
     5) $$x^5+x^4-6x^3-14x^2-11x-3=0$$;
     
     6) $$2x^4-2x^3-11x^2-x-6=0$$.

1. $$x^3-3x^2+x=3$$

   $$x^3-3x^2+x-3=0$$

   $$x^2(x-3)+(x-3)=0$$

   $$\left(x^2+1\right)(x-3)=0$$

   Так как $$x^2+1\neq 0$$ при любых действительных $$x$$, то

   $$x-3=0,\quad x=3.$$

2. $$x^3-3x^2-4x+12=0$$

   $$x^2(x-3)-4(x-3)=0$$

   $$\left(x^2-4\right)(x-3)=0$$

   $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)(x-3)=0$$

   Отсюда

   $$x=-2,\quad x=2,\quad x=3.$$

3. $$x^3-5x^2+8x-6=0$$

   Подбором находим корень $$x=3$$:

   $$3^3-5\cdot 3^2+8\cdot 3-6=27-45+24-6=0.$$

   Значит,

   $$x^3-5x^2+8x-6=(x-3)(x^2-2x+2).$$

   Рассмотрим квадратный множитель:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 2=4-8=-4<0.$$

   Действительных корней у него нет, поэтому

   $$x=3.$$

4. $$x^4-3x^3-2x^2-6x-8=0$$

   Группируем слагаемые:

   $$x^4-3x^3-2x^2-6x-8=(x+1)(x^3-4x^2+2x-8).$$

   Далее

   $$x^3-4x^2+2x-8=x^2(x-4)+2(x-4)=(x-4)(x^2+2).$$

   Тогда

   $$\left(x+1\right)\left(x-4\right)\left(x^2+2\right)=0.$$

   Так как $$x^2+2\neq 0$$ при любых действительных $$x$$, получаем

   $$x=-1,\quad x=4.$$

5. $$x^5+x^4-6x^3-14x^2-11x-3=0$$

   Проверяем корень $$x=3$$:

   $$3^5+3^4-6\cdot 3^3-14\cdot 3^2-11\cdot 3-3=243+81-162-126-33-3=0.$$

   Значит,

   $$x^5+x^4-6x^3-14x^2-11x-3=(x-3)(x+1)^4.$$

   Отсюда

   $$x-3=0 \quad \text{или} \quad x+1=0.$$

   Следовательно,

   $$x=3,\quad x=-1.$$

6. $$2x^4-2x^3-11x^2-x-6=0$$

   Разложим на множители:

   $$2x^4-2x^3-11x^2-x-6=(x+2)(2x^3-6x^2+x-3).$$

   Далее

   $$2x^3-6x^2+x-3=2x^2(x-3)+(x-3)=(x-3)(2x^2+1).$$

   Тогда

   $$\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(2x^2+1\right)=0.$$

   Так как $$2x^2+1\neq 0$$ при любых действительных $$x$$, получаем

   $$x=-2,\quad x=3.$$

Ответ

1) $$3$$; 2) $$-2,\ 2,\ 3$$; 3) $$3$$; 4) $$-1,\ 4$$; 5) $$-1,\ 3$$; 6) $$-2,\ 3$$.